Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Вавилов С.И. Большая советская энциклопедия Том 02
 
djvu / html
 

350
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Такая точка характеризуется тем, что сколько бы ни делать оборотов в одном и том же направлении на римановой поверхности, невозможно вернуться в исходную точку поверхности, а значит невозможно, вообще говоря, вернуться и к исходному значению функции.
Простейшим примером А. ф., имеющей точку разветвления бесконечного порядка при z = а может служить Ln(z - а) = ln(z - a) iArg(z - а). Поэтому точки разветвления бесконечного порядка называют иногда логарифмическими, или трансцендентными.
А. ф. многих переменных, например двух: Zj и z2, называют функции, к-рые могут быть представлены степенными рядами, расположенными по произведениям степеней (z-zj и (z - z2):
00 СО
/(%, za) =2 2 апт( - zlH2 - Z2) -n=0 m=0
Очерк развития теории А. ф. Основы теории А. ф. были заложены в 18 в. главным образом трудами знаменитого петербургского академика Эйлера (см.). Ему принадлежат: теория элементарных функций комплексного переменного, применения функций комплексного переменного к задачам гидромеханики, конформного отображения и интегрального исчисления и изучение ряда неэлементарных аналитических функций (введение гамма-функции, дзета-функции, цилиндрич. функций, теорема сложения эллиптич. интегралов и др.). Французскому математику Коши (см.) (1-я половина 19 в.) принадлежат: интегральная теорема, теория вычетов с ее многочисленными приложениями (вычисление определенных интегралов, разложение функций в ряды, алгебраические и трансцендентные уравнения, системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэфициентами), интегральная формула (интеграл Коши), получение с ее помощью разложения в степенной ряд и общий метод для доказательства, существования аналитич. решений дифференциальных уравнений. Дальнейшее построение теории А. ф. (2-я половина 19 в.) связано с именами Вейерштрасса (см.) и Римана (см.). Первый из них развивал теорию в чисто аналитич. направлении. Ему принадлежат: теория аналитич. продолжения и общая концепция А. ф. как функции, получаемой из данного степенного ряда (элемента А. ф.) путем всевозможных его аналитич. продолжений; теорема о том, что сумма равномерно сходящегося ряда А. ф. есть также А. ф.; разложение произвольной целой функции в бесконечное произведение,послужившее началом позднейшей теории целых функций; разработка теории эллиптических функций на основе общей теории А. ф., сохранившая свое значение и в настоящее время; исследования по теории алгебраических функций (см.) и интегралов от них (абелевы интегралы) и др. При всей своей продуктивности деятельность Вейерштрасса имела несколько односторонний, арифметизирую-щий характер. Для творчества Римана, в противоположность этому, типичны широта и смелость, с к-рыми он, не очень заботясь о строгости обоснования, обогатил теорию А. ф. новыми для нее методами и понятиями и, вместе с тем, наметил новые области ее приложений. От него ведет начало геометрич. теория А. ф., где центральное место занимает изучение отображения, осуществляемого посредством А. ф., т. е. конформного отображения; чтобы рассматривать эти отображения всегда как однозначные (взаимно однозначные), он ввел понятие многолистных поверхностей, названных ри-
мановыми. Их исследование явилось одним из важных факторов развития топологии. Устанавливая существование А. ф., удовлетворяющей определенным условиям на данной поверхности, Риман привлек для доказательства методы, применявшиеся до того в математич. физике для решения краевых задач (см.) (задача Дирихле и ей родственные); эти методы оказались впоследствии весьма плодотворными. Кроме того, сближение задач теории А. ф. и математич. физики позволило в дальнейшем самой теории А. ф. оказывать существенные услуги математич. физике. Непосредственно же Риману удалось получить указанными средствами результаты первостепенной важности в теории алгебраич. функций и в задаче обращения абелевых интегралов и установить замечательную теорему о возможности конформного отображения одной односвязной области на другую. В другой связи идей возникла его работа, раскрывающая значение теории А. ф. комплексного переменного для теории чисел. В ней Риман свел задачу о распределении простых чисел
с» , к дзета-функции C(z) = . -, введенной в науку
Эйлером. Высказанная им при этом гипотеза о том, что все мнимые корни уравнения C(z)=0 лежат на
1 ..
прямой х = 2-, остается недоказанной, несмотря на
все усилия математиков. Между тем от решения этой проблемы Римана зависит ряд вопросов теории чисел. Развитие исследований Римана, связанных с теорией чисел, привело к новой дисциплине - аналитической теории чисел, широко использующей аппарат А. ф. и, в свою очередь, влияющей на развитие теории А.ф. Наконец, Риману принадлежит глубокое исследование линейных дифференциальных уравнений с аналитич. коэфициентами.
В последние десятилетия 19 в. теория А. ф. продолжала интенсивно развиваться в направлениях, намеченных Вейерштрассом и Риманом. Здесь следует назвать учеников Вейерштрасса Миттаг-Леф-флера и Шварца, далее - С. В. Ковалевскую (см.), Фукса, Пуанкаре, Пикара и Пенлеве, разработавших аналитич. теорию дифференциальных уравнений (см.); Клейна и Пуанкаре, построивших теорию автоморфных функций (см.), где нашла замечательное поле для приложений геометрия Лобачевского; Пикара, Пуанкаре, Адамара и Бореля, развивших теорию целых функций в такой мере, что с ее помощью удалось сделать следующий после П. Л. Чебышева шаг в теории иро-стых чисел - установить окончательно асимптотический закон их распределения.
Большой интерес представляют исследования русского математика Ю. В. Сохоцкого (см.), доказавшего в 1868 классич. теорему о поведении А. ф. в окрестности существенно-особой точки (эта теорема неправильно называется теоремой Вейерштрасса), а в 1873 опубликовавшего основные результаты о граничных значениях т. н. интеграла типа Коши, к-рые значительно позднее нашли широкое ноле приложения к теории упругости в работах Н.И.Мус-холншвили и его школы.
Трудами этих исследователей теория А. ф. уже к началу 20 в. сформировалась в обширный комплекс дисциплин (геометрич. теория функций, теория целых и мероморфных функций, теория эллиптич. и модулярных функций, теория автоморф-ных функций, теория алгебраич. функций и абелевых интегралов, теория гармонич. функций, аналитич. теория дифференциальных уравнений и др.),

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710 720


Большая Советская Энциклопедия Второе издание