Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Вавилов С.И. Большая советская энциклопедия Том 02
 
djvu / html
 

60
АЛГЕБРА
являющееся подполем последнего. Это будет поле корней (или поле разложения) заданного уравнения (1); так, для уравнения хг-2=0 полем корней служит уже отмечавшееся выше поле, состоящее из чисел вида а-\-ЬУ-2 с рациональными а и Ь. Можно считать, что вопрос о решении уравнения (1) сводится к вопросу о разыскании поля его корней.
При переходе к произвольному полю Р в качестве основного поля, вполне сохраняет смысл понятие уравнения гг-й степени (1),- но уже с коэфициентами из поля Р, а не с числовыми коэфициентами, - а также понятие корня этого уравнения, причем корень может быть теперь или элементом самого поля Р, или же элементом нек-рого более широкого поля. Оказывается, что всегда можно найти такое поле Р, содержащее внутри себя поле Р, что в Р для урапнения (1) содержится п корней. Присоединяя эти корни (в указанном выше смысле) к основному полю Р, мы получим содержащееся в поле Р поле корней уравнения(1). Правда, можно найти много различных полей корней для данного уравнения (1), но все они будут, как оказывается, между собой изоморфными.
Справедлива следующая, еще более общая теорема: всякое поле Р содержится в таком поле Q, что все уравнения вида (1) всевозможных степеней с коэфициентами из Q и, в частности, все уравнения с коэфициентами из Р обладают в Q корнями. Поле со свойствами поля Q называется алгебраически замкнутым; таково, например, поле комплексных чисел. Эта теорема по-новому - и на этот раз чисто алгебраич. путем - решает вопрос о существовании корней уравнения (см. выше об «основной теореме А.»).
Конечной целью теории полей можно считать полное описание всех неизоморфных между собой полей. До достижения этой цели пока еще очень далеко, и сейчас усилия специалистов в этой области направлены преимущественно на глубокое изучение двух специальных типов полей -полей алгебраич. чисел п полей алгебраич. функций. Полями алгебраич. чисел называются поля корней для уравнений с целочисленными коэфициентами. Основной метод для изучения этих полей дает упомянутая выше теория Галуа (см. Галуа теория), позволяющая со всяким таким полем сопоставить конечную группу - его группу Галуа. Теория алгебраических чисел, изучающая указанные поля, связывает А. с другим самостоятельным разделом математики - теорией чисел. В теории алгебраических чисел, заложенной в 19 в. Куммером и продолженной Дедекиндом, Гильбертом и др., много сделано русскими учеными Е. И. Золотаревым (см.) (1847-78), Г. Ф. Вороным (см.) (1868-1908), А. А. Марковым (см.) (1856-1922). Полями алгебраических функций (см.) называются поля корней для уравнений, коэфициентами к-рых служат упомянутые выше дробно-рациональные функции. В изучении этих полей исследования алгебраистов сочетаются с исследованиями специалистов в теории аналитич. функций.
Из советских математиков большой вклад в теорию полей, особенно в теорию полей алгебраич. чисел, а также в примыкающие к теории полей вопросы А. многочленов внесли Н. Г. Чеботарев (см.) (1894-• 1947, Казань) и его ученики. Особенно интересны глубокие исследования Н. Г. Чеботарева, относящиеся к т. н. проблеме резольвент, т. е., кратко говоря, к вопросу о сведении решения данного алгебраич. уравнения к решению уравнения с возможно меньшим числом коэфициентов. Очень важны работы Б. Н. Делоне (см.) (Москва) и его сотрудников, относящиеся к теории алгебраич. чисел.
Теория полей является лишь одной из многих основных ветвей современной алгебраич. науки. Отказываясь в определении поля от требования выполнимости деления, мы приходим к понятию кольца, более общему, чем понятие поля. Примерами
колец служит совокупность всех целых чисел, совокупность многочленов и различные совокупности функций, для к-рых операции сложения и умножения также имеют смысл. Во всех этих примерах умножение коммутативно. Потребности приложений привели, однако, и к изучению колец с некоммутативным умножением, важнейшими примерами к-рых служат кольца квадратичных матриц; выше уже говорилось об умножении матриц, сложение же состоит в том, что складываются соответственные элементы данных матриц. В самое последнее время понятию кольца пришлось придать еще более широкий смысл, отказавшись в его определении и от ассоциативности умножения. Примерами неассоциативных колец служат кольца Ли, играющие существенную роль в теории непрерывных арупп (см.). Отметим приложения неассоциативных колец в проективной геометрии и в квантовой физике. Теория колец детально разрабатывается в настоящее время в различных направлениях, но пока еще весьма далека от завершения (см. Кольцо).
Важнейшей ветвью теории колец является теория гиперкомплексных систем, или а л-гебр. Алгеброй над полем Р называется кольцо, являющееся одновременно векторным пространством над этим полем (см. выше), причем умножение в самом кольце связано с умножением на элементы из Р следующим равенством:
(aa)(pb) = ( p)(a&),
где а, Ъ - элементы данного кольца, ч, р-элементы из Р. Во всякой алгебре можно выбрать такую систему элементов (т. н. базу) alt az,..., aia1 «2a2 -- <» « ,
с коэфициентами аь а2,..., ая из поля Р. Кольца, встречающиеся в приложениях, очень часто оказываются алгебрами над нек-рым полем. Так, поле комплексных чисел можно считать алгеброй над полем действительных чисел с базой 1, t; кольцо квадратных матриц с элементами из поля Р будет алгеброй над этим полем; совокупность векторов в трехмерном пространстве с их обычным сложением и их т. н. векторным умножением будет алгеброй над полем действительных чисел, притом неассоциативной - это пример алгебры Ли.
Теория алгебр под названием теории гиперкомплексных числовых систем (см. Гиперкомплексные числа) возникла во 2-й половине 19 в. в связи с попытками обобщения комплексных чисел. Началом явилось введение кватернионов (см.)-гиперкомплексной системы, обладающей базой из четырех элементов. В этой системе умножение некоммутативно, но ассоциативно, причем, как и в полях, выполнимо деление; заметим, что поля с некоммутативным умножением называются телами. В развитии общей теории алгебр очень значительную роль сыграли работы русского математика Ф. Э. Молина (1862-1941, Юрьев, затем Томск), относящиеся к концу 19 в.
Кольца и, в частности, поля служат важнейшими примерами множеств с двумя алгебраич. операциями. Не менее часто встречаются, однако, множества лишь с одной операцией. Обычно эта операция оказывается ассоциативной, хотя не обязательно коммутативной, и, сверх того, обладает обратной операцией. Тогда такое множество называется группой. Например, всякое кольцо будет группой относительно сложения, всякое поле, после удаления из него нуля, - группой относительно

 

1 10 20 30 40 50 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710 720


Большая Советская Энциклопедия Второе издание