Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Вавилов С.И. Большая советская энциклопедия Том 03
 
djvu / html
 

20
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ - АРИФМЕТИЧЕСКИЙ РЯД
Общеобразовательная и практическая ценность решения арифметич. задач в школе определяется гл. обр. тем, насколько самостоятельно и сознательно учащиеся ориентируются в основных «арифметических ситуациях», определяемых условиями залач; существенна также и забота о том, чтобы постановка вопроса в задаче была интересна и реальна, так же как и числовые данные. В настоящее время наблюдается тенденция относить к курсу алгебры те более сложные задачи, к-рые естественнее и проще всего решаются с помощью уравнении, и, вообще, установить возможно более тесный контакт алгебры с соответствующими разделами А.
Наиболее актуальными проблемами методики преподавания А. в советской школе являются:
а) задача наиболее целесообразного использования времени, о i веденного А. в начальной школе;
б) обеспечение развития отчетливых представлений учащихся в вопросах, связанных с умножением и делением дробей и понятиями «отношение» и «пропорциональность» ) закрепление и усовершенствование навыков в выполнении устных н письменных вычислений (в т. ч. приближенных и сокращенных) в средних и старших классах школы.
Лит.: К э д ж о р и Ф., История элементарной математики. 2 изд., Одесса. 1917; Архимед, Исчисление песчинок. (Псаммит). М.-Л., 1932; Б о б ы н и н В. В., Очерни истории развития Физико-математических знаний в России, «Физико-математические науки в их настоящем и прошедшем», т. 1-2, 1885-86; Беллю-с т и н В.. Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики. М.. 1940; Г н е д е и к о Б. В.. Очерки по истории математики в России. М.-Л., 1946; II е и г е-б а у е р О.. Лекции по истории античных математических наук. т. 1, М.-Л.. 1937; Выгодский М. Н., Арифметика и алгебра в древком мире, М.- Л., 1941; его же. Математика древних вавилонян, «Успехи математических паук», 1940, вып. 7. 1941, вып. 8; Юсупов Н. В.. Очерки по истории развития арифметики на Ближнем Востоке, Казань, 1932; Арнольд И. В.. Теоретическая арифметика, 2 изд.. М.. 1939; Беленовский П. Д., Основы теоретической арифметики, М., 1938; Клей н Ф., Элементарная математика с точки зрения высшей, т. 1. ;) изд.. М.-Л.. 1935; Снегирев В. Т. и Ч е к м а-р е в Я. Ф.. Методика арифметики, 7 изд.. М., 1948; Б е-р е з а н с к а я Е. С., Методика арифметики, 4 изд., М.. 1947; П ч е л к о А. С.. Методика преподавания арифметики л начальной школе, 2 изд., М.. 1947; Г р е б е н ч а М. К., Арифметика, М.-Л.. 1947; Гончаров В. Л..Арифметические упражнения и функциональная пропедевтика, М.-Л.. 11)47.
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ (а р и ф
м е т и ч е с к и и ряд 1-го порядка)- ряд чисел, в к-ром каждый член получается из предыдущего путем прибавления к нему одного и того же числа d, называемого разностью этой А. п. Таким образом, каждая А. п. имеет вид: a, a d, a 2d, a 3d, ... Если 0, то каждый член А. п. больше предыдущего; она называется в этом случае возрастающей. Если d-fO, то каждый член меньше предыдущего; А. п. называется в этом случае убывающе и. Ясно, что n-ный член А. п. ап-а-\-(п-l)d. Простейшей А. п. является натуральный ряд чисел 1, 2, 3, ..., л,... А. п. может содержать ограниченное или неограниченное число членов. Если А. п. содержит п членов, то можно определить ее сумму, подписав под ее членами в обратном порядке те же члены и складывая обе А. п. почленно. Напр.:
0, 3, 6, 9, 12, 1 ft 15, 12, 9, 6, 3, О
15 15 15 15 15 1 5 ---• 1 5 • 6
Сумма данной А. п. равна --. Таким же образом в каждой А. п. сумма п членов есть число
. (а, 4 а )п
АРИФМЕТИЧЕСКИЙ РЯД порядка m - последовательность значений многочлена степени т, р (x)=aa aJx ...- -amx n, принимаемых им при последовательных целых неотрицательных значениях переменной ж(ж=0, 1, 2, ..., п, ...). Если т = 1, т.е. p(x)=aa alx- получается А. р. первого порядка: а0, а0 а,, a0 2alt ..., ao naj...; это арифметическая прогрессия (см.) с начальным членом а и разностью at. При р(х)=хг или р(х) =хг получается последовательность квадратов или кубов
целых чисел: О, 1, 4, 9, 16.....л», ...; О, 1, 8, 27, 64,
..., я3, ..., как частные случаи А. р. второго н третьего порядков. Если составить разности соседних членов А. р. (второй минус первый, третий минус второй и т. д.), затем для полученных разностей также образовать их разности (вторые разности), для вторых разностей вновь образовать разности (третьи разности) и продолжать этот процесс далее, то на те-том этапе окажется, что все разности (m-тые разности) равны между собой. Напр, для последовательности кубов первые разности суть: 1, 7, 19, 37, .... вторые: 6, 12, 18, ..., и, наконец, третьи: 6, 6, 6, .... Обратно, если для некоторой последовательности чисел ее m-тые разности равны между собой, то данная последовательность есть А. р. порядка т. Пользуясь этим свойством, можно строить А. р. различных порядков, отправляясь от их разностей (само построение осуществляется посредством сложения). Напр, последовательность единиц: 1, 1, 1, 1, ... можно рассматривать
Ч)
161

Рис. 1.
(•/) I/O)
Рис. 2.
как первые разности последовательности натуральных чисел 1, 2, 3, 4, ... (А. р. первого порядка), как вторые разности последовательности треугольных чисел 1,3, 6, 10, ... (А. р. второго порядка), как третьи разности последовательности тетраэдрических чисел 1, 4, 10, 20, ... (А. р. третьего порядка) и т. д. Незнания этих чисел объясняются тем, что треугольные числа выражают числа шаров, уложенных в виде треугольника (рис. 1), а тетраэдрнческие - • в виде тетраэдра (пирамиды) (рис. 2). Треугольные чис-
ла выражаются формулой , а тетраэдри-
ческие - . (я= 1, 2, 3, ...). Обобщением
треугольных чисел являются /е-уголыше, или фигурные числа, игравшие важную роль на разных этапах истории арифметики. Аг-угольные
числа имеют вид: p (k-2) (n- (п= ], 2, ...).
Они образуют А. р. второго порядка, с первым членом 1, вторым членом k и вторыми разностями k - 2. ПриА:=3 получаются треугольные чис-
ла 2 ), up п А =4 - к в а д р а т н ы е (п2), при
k= 5 - понтагональные т. и. Названия эти
и
(пятиугольные) поясняются на
рис. 3 и рис. 4, где числа шаров, расположенных в виде квадрата или пятиугольника, выражаются соответствующими квадратными или пентаго-

 

1 10 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710


Большая Советская Энциклопедия Второе издание