Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Вавилов С.И. Большая советская энциклопедия Том 05
 
djvu / html
 

70
БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ
1 ис. 4.
ник высшей математики), но и вообще не сформулировали лежащего по существу в основе их приемов понятия предела (даже общее название «метод исчерпывания» для их приемов возникло лишь в новое время). Тем более, древняя наука но создала ничего подобного современному алгоритму интегрального исчисления, благодаря которому теперь совсем не обращаются при вычислении нового интеграла к определению интеграла в качество предела сумм, а пользуются значительно более простыми в практическом употреблении правилами интегрирования функций различных специальных классов. Из сочинений Архимода (особенно из «Послании Эратосфсну») можно усмотреть, что его логически отточенному методу оценки площадей и объемов при помощи сумм возрастающего числа неограниченно убывающих (т. с. В. м. в современном смысле слова) слагаемых предшествовал более примитивный, но более наглядный метод, восходящий, по утверждению Архимеда, к знаменитому философу-материалисту Демокриту (см.). Архимед указывает, в частности, что Демокрит раньше Евдокса определил (хотя и без строгого обоснования своих результатов) объем пирамиды. Для Эвклида и Евдокса основную трудность при выводе объема пирамиды представляло доказательство того факта, что объемы двух пирамид с ранными высотами и равновеликими (т. е. равными по площади) основаниями равны. Трудность эта преодолевалась в «Началах» Эвклида применением метода исчерпывания. В современных учебниках элементарной геометрии проводится доказательство того же утверждения, построенное ближе к архимедовой форме употребления методов исчерпывания.
Судя по указаниям Архимеда, демокритов «атомистический» метод доказательства равенства объемов двух пирамид с равными высотами и равновеликими основаниями можно представить себе так (рисунок 4): из соображений подобия вытекает, что площади сечений, проведенных на равной высоте в наших пирамидах, равны; объемы пирамид воспринимаются просто как «суммы» этих площадей, что и позволяет сразу, исходя из равенства соответствующих членов двух сумм, заключить о равенстве самих сумм. В сочинениях Архимеда дается много примеров применения этого метода к решению более сложных задач. Архимед считал такой метод нестрогим, но очень ценным с эвристической стороны (т. е. для первоначального получения новых результатов, к-рые потом должны быть обоснованы более строго) и был в этом с современной точки зрения, конечно, прав, так как метод Демокрита является лишь но выдерживающей строгой критики попыткой заменить процесс предельного перехода
S = lim (ДУ1 4 > ... Д( >)
П- 00
несостоятельной метафизической гипотезой о возможности получения объемов суммированием площадей.
Послание Архимеда к Эратосфену, получившее краткое название «Эфодикон» (руководство), много комментировалось и цитировалось авторами эллинистической эпохи, но не дошло до европейских математиков эпохи создания современной высшей математики, к-рые в отношении необычайно простого атомистического метода рассуждений Демокрита
Рис. 5.
в лучшем случае должны были довольствоваться довольно смутными литературными указаниями других источников (текст «Эфодикона» был вновь открыт лишь в 1906). Тем не менее этот метод получил блестящее развитие в работах Кеплера и Ка-вальери (см.). Кеплер в своей «Стереометрии винных бочек» (1615) определяет объем 92 тол вращения. Если бы он следовал педантично методу изложения Архимеда при каждом из этих определений, то его труд разросся бы до необъятных размеров. Метод Кеплера можно пояснить на простом примере. Определение площади круга Кеплер основывает на следующем рассуждении (фигурирующем и в настоящее время и некоторых учебниках геометрии, требующих но своему назначению наибольшего упрощения). Круг разбивается на секторы с общей вершиной в центре (рис. 5); чем меньше каждый сектор, тем ближе он подходит к треугольнику, основанием которого можно считать дугу сектора; его площадь, следовательно, равна длине его дуги, умноженной па половину радиуса; если суммировать эти площади, то получится, что площадь круга равна длине его окружности, умноженной на половину радиуса. С такой же простотой Кеплер вычисляет объем шара и других тел вращения; но эта простота порождает сомнения (которых он но скрывает) и иногда приводит его к ошибкам. Чтобы заглушить эти сомнения, Кеплер подтверждает свое рассуждение относительно площади круга такого рода соображениями: составляющие секторы можно сделать настолько малыми, что их основаниями становятся точки, и число секторов тогда становится бесконечным; каждый из этих 1.5. м. секторов уже вовсе не отличается от такого же треугольника. Конечно, это рассуждение ничего не спасает, потому что со сведением основания к точке исчезает сектор, и треугольник превращается просто в радиус. Его существенная особенность заключается и том, что здесь Кеплер более или менее сознательно склоняется к статическому разложению круга на бесконечно большое число актуально 15. м. секторов - радиусов, а не к потенциальной бесконечности непрерывно возрастающего числа непрерывно убывающих слагаемых; в этом виде неограниченно продолжающийся процесс исчезает. 1>ыло бы неправильно сказать, что Кеплер твердо стоял на точке зрения актуальной бесконечности: он слишком находился еще под влиянием Архимода, основные сочинения к-рого ему были хорошо известны; но его позиция не тверда, его воззрения и этой области эклектичны. Они представляют собой переходную ступень к взглядам Кавальери. 13 1635 Кавальери опубликовал трактат «Геометрия, изложенная но-
вым способом при помощи неде-лимых непрерывного».
Задача сочинения та же, которую ставил себе Архимед: вычисление площадей и объемов геометрических фигур произвольной формы. С этой целью Кавальери рассматривает плоскую фигуру пак совокупность параллельных прямолинейных отрезков от одной крайней касательной до другой (рисунок 6), тело - как совокупность его параллельных плоских сечений. Эти отрезки и плоские сечения суть те «неделимые», по которым назван метод Кавальери (см. «Неделимых метод).

 

1 10 20 30 40 50 60 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710 720 730 740


Большая Советская Энциклопедия Второе издание