Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Вавилов С.И. Большая советская энциклопедия Том 06
 
djvu / html
 

640
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ - ВАРИАЦИОННЫЙ КОЭФИЦИЕНТ
задачах только такие экстремали, на к-рых функционал не достигает ни максимума, ни минимума, и представляют интерес (на значение таких экстремалей обратил внимание еще П. Л. Чебышев). Особенно трудной оказалась задача об оценке числа критических элементов функционала, заданного на замкнутых кривых без самопересечения, расположенных на поверхностях, топологически эквивалентных сфере, например задача об оценке числа замкнутых геодезич. линий без самопересечения на указанных выше поверхностях. Эта трудная задача была решена Люстерником и Шнирельманом. Они доказали, что на каждой поверхности, топологически эквивалентной сфере, существуют по крайней мере три самонепересекающиеся замкнутые геодезические различной длины; если же длины хотя бы двух из этих геодезических совпадают, то появляется бесконечное множество замкнутых геодезических равной длины. Например, на эллипсоиде
•-т -f- тгг -г = 1, а>Ь>с, в сечении плоскостями я=0, i/=0 и z=0 получаются три самонепересекающиеся геодезические различной длины. Если же длины двух из этих геодезических совпадают, например если а=Ь, то на получающемся эллипсоиде вращения имеется бесконечное множество замкнутых геодезических равной длины - семейство меридианов.
Связь с функциональным анализом. Из всего сказанного выше видна глубокая аналогия, существующая между методами исследования на экстремум функций и функционалов. Корни этой аналогии обнаруживаются, если ввести обобщенное понятие функции, охватывающее как частный случай и функции в обычном понимании этого слона и функционалы. Если каждой точке р нек-рого пространства М соответствует число f(p), то говорят, что на пространстве М определена функция /. Элементами пространства М - его точками - могут быть числа, системы чисел, функции, системы функций или какие-нибудь иные объекты. Если точками пространства М являются числа или конечные системы чисел, то /(/>) является функцией в обычном смысле слова; если же элементами пространства М являются функции или системы функций, то пространство называется функциональным, a f(p) является функционалом. Для того чтобы для функции j(p) можно было определить понятие дифференциала как главной линейной по отношению к приращению аргументов части приращения функции, необходимо, чтобы на пространстве М можно было определить линейную функцию, т. е. функцию, характеризующуюся следующими двумя свойствами:
1) f(Pi P,)=1(Pi) f(PJ и 2) f(kp) = kf(P),
где k - действительное число. Необходимо, следовательно, чтобы точки пространства можно было складывать и умножать на действительное число. Этими свойствами обладают т. н. линейные пространства. Будем предполагать, что пространство линейно и имеет линейную метрику. Предположим, далее, что приращение функции можно представить в виде:
Д/ = / (Р А) - / (Р) = L (Р, к (Р, h) Л,,
где L(p,h) - линейная функция от h, K(p, h) - квадратичная функция от h, а Д3 - величина порядка выше второго по отношению к норме h. Функцию L (p,h) - главную линейную часть приращения, называют дифференциалом функции /, а удвоенную квадратичную часть K(p,h) - вторым дифференциа-
лом; аналогично можно определить и дифференциалы высших порядков. Если функция /(/>) достигает в нек-рой точке ра максимума или минимума, то L(p0, Л)-0, т. к. в окрестности точки максимума или минимума Л/ должны сохранять знак, а знакЬ(р0, h) меняется при перемене знака h.
Если элементами функционального пространства являются непрерывно дифференцируемые функции у=у(х), определенные на отрезке Xf x Xi, а за расстояние между двумя точками пространства - функциями у-у(х) и у=у(х) - принят максимум \у(х)-у(х)\, то исследование на экстремум функции, заданной на таком пространстве, сводится к исследованию функционала на сильный экстремум; если расстояние между двумя точками пространства считать равным сумме максимумов \у (х)-у(х)\ и \у (х)-у (х)\, то исследование на экстремум свелось бы к исследованию функционала на слабый экстремум. При каждом из указанных выше определений расстояния получают линейное пространство с линейной метрикой, и, следовательно, можно говорить о дифференциале функции Ф, заданной на этих пространствах. Основным необходимым условием экстремума будет йФ=0, а дальнейшие условия связаны с исследованием знака второго дифференциала.
Лит.: Эйлер Л., Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума, либо минимума, пер. с латин., М.-Л., 1934;Бернулли И., Избранные сочинения по механике, пер. с латин., М.-Л., 1937; Лаврентьев М. А. иЛюстерникЛ. А., Курс вариационного исчисления, 2 изд., М-Л., 1950; и х ж е, Основы вариационного исчисления, т. 1, ч. 2, М.-Л., 1935; Г ю н т е р H. M., Курс вариационного исчисления, Л.-М., 1941; Смирнов В. И. [и др.], Вариационное исчисление, Л., 1933; Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 4, Л.-М., 1941; Канторов и ч Л. В. и Крылов В. И., Методы приближенного решения уравнений в частных производных, Л.-М., 1936; Л ю с-т е р н и к Л. А. и Ш н и р е л ь м а н Л. Г., Топологические методы в вариационных задачах, М., 1930; Р ы б-ников К. А., Первые этапы развития вариационного исчисления, в кн.: Историко-математические исследования, вып. 2, под ред. Г. Ф. Рыбкина и А. П. Юшкевича, М.-Л., 1949; К п е s е г A., Lehrbuch der Variationsrechnung, В., 1925; Hadarnard J., Lemons sur le calcul des variations, P., 1910; Todhunter I., A history of the progress of the calculus of variations during the nineteenth century, Cambridge, L., 1861.
ВАРИАЦИОННЫЕ ДВИЖЕНИЯ РАСТЕНИЙ -
движения органов растений, в основе к-рых лежат изменения тургорного растяжения клеток на разных сторонах органа. См. Движение (у растений). ВАРИАЦИОННЫЙ КОЭФИЦИЕНТ (в стати стике), вариации коэфициен т,- показатель, употребляемый в статистике для измерения относительных размеров колеблемости признака. В. к. представляет собой отношение среднего квадратичного отклонения а к среднему арифметическому (см. Средние) х и обозначается V:
В. к. как относительное число пригоден для сравнения размеров колеблемости различных по своему характеру и размерам признаков. При помощи В. к. возможно, например сравнение размера колеблемости в производительности труда отдельных групп рабочих, занятых производством различных видов продукции, размеров колеблемости урожайности различных сельскохозяйственных культур и пр. Чем меньше В. к., тем меньше размер колеблемости признака и наоборот. Измерение относительных размеров колеблемости признаков играет особенно большую роль в практике выборочных обследований.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 641 642 643 644 645 646 647 648 649 650 660 670 680 690 700 710 720 730 740


Большая Советская Энциклопедия Второе издание