Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Вавилов С.И. Большая советская энциклопедия Том 07
 
djvu / html
 

130
ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА- ВЕКТОР-ПОТЕНЦИАЛ
Другой возможный путь состоит в дальнейшем развитии аксиоматического определения В. п. Вступая па этот путь, необходимо прежде всего из всех понятий метрической геометрии выделить некоторые основные, через к-рые могут быть выражены остальные понятия. В качестве такого основного понятия можно было бы избрать понятие длины вектора. Удобнее выбрать другое понятие, имеющее более алгебраический характер, именно-понятие скалярного п р о и з в о д е н и я векторов (см. Векторное исчисление). Длина ж\ вектора ж и угол <(ж, уу между векторами ж и у обычного трехмерного пространства выражаются через скалярное произведение формулами:
(ж,ж), (1)
cos
У (ж,ж) (у,у)
(2)
Скалярное умножение обладает при этом следующими свойствами:
I. (ас, у) = (у, ж) (коммутативность),
III. (lac, у) = 1(ж, у),
IV. для любого -л скалярное произведение (ж, аз):э=0, причем (ж, ас) = 0 только, если ас =. 0.
В. п. называется э в к л и д о в ы и, если каждой паре векторов ж, у этого пространства отнесено действительное число, обозначаемое (ж, у) и называемое скаляр н ы м н р о и з в с д е н и е м векторов ж, у, причем операция скалярного умножения подчинена законам 1 - IV.
В эвклидовом В. н. понятия длины вектора и угла между векторами вводятся посредством формул (1) и (2). При этом приходится специально доказывать, что правая часть равенства (2) никогда не превосходит по абсолютной величине единицу.
Первым примером эвклидова пространства является обычное трехмерное пространство со скалярным произведением, определяемым в векторном исчислении. Следующий пример получим, определяя в арифметическом и-морном пространство скалярное произведение векторов ж = ).1( ),2 ..... Х и У= \V-i< V-t,-.-, V-r>\ формулой:
(ж, у) = /,.н /2lJ., . . . Х 1 . (3)
Требования I - IV при этом, очевидно, выполняются. В построенном таким образом эвклидовом пространстве длина вектора выражается, согласно (1), формулой:
\Ж =1

Это та самая формула, от к-рой отправляются при чисто координатном подходе. Те же формулы (3), (4) сохраняются, если пользоваться произвольной прямоугольной системой координат данного эвклидова пространства. В силу формулы (2) для того, чтобы угол между двумя векторами жну был равен 90 , необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение этих векторов равнялось нулю: (л-, j/) = 0. Такие векторы называются о р т о г о н а л ь н ы м и. Говорят, что базис рь < 2, ..., сп определяет прямоугольную систему координат, если векторы elt с.,, ..., еп попарно ортогональны и по длине равны 1, т. е. (ei, ek> - U Ри i k. (ct, ej)=l. Такие базисы действительно можно построить в любом эвклидовом пространстве. Их называют о р т о н о р м и р о в а н-н ыми. Если Р1,еа,...,еи-ортопормированный базис и ж = ),1е1 А2е2 ...-1-л еп, у= у-1е1 е,, ... у.пеп> то, используя свойства I-IV скалярного произведе-
ния, находят:
(Я0,у) = J.jtlj ).jUa . .
т. е. формулу, совпадающую с ф< Вся теория скалярных пронзведе ванных базисов обобщается и на бе чай (см. Гильбертово пространство . большое значение в математич. аналш функции, Функциональный ашынз).
Вектор ж называется о р т о г подпространству И, есл каждому вектору из R. Совокупи ортогональных к R, также явл. ством. Оно называется о р т о г о п о л н е ц и е м п о д н р о с т р обычном трехмерном пространст дополнением плоскости является нальным дополнением прямой - доказать, что и в общем случае п стпа ортогональное дополнение пространству имеет размерность п ческая теорема эквивалентна оси рии линейных однородных урав Общая система m линейных одп с п неизвестными uit и...... г(п имеет
Рассмотрим в rt-мерпом арпфметич.
G. =- ) ап , о,;., . . . , «in
и вектор и = и,, к,.....ип\. Прпнпм
делающую скалярное произведение переписать систему (5) в вале
(а ц) = 0, ч
(а, , и) - 0. I
Отсюда видно, что если П есть лине. ц,, а,, . . ., «т, то всевозможные образуют ортогональное дополнени пространства Я называется рангом t о размерности ортогонального до пространства решении равна п-г
Лит.: Г с л ь ф а и д И. М., алгебре, М.- Д., 1948; М а л ь ц е пенной алгебры, М. - Л., 1948; Г у ] теории алгебраических инвариантов, ер О. и III п е р н е р Е., Введет в геометрическом изложении, пер. <
ВЕКТОР-ПОТЕНЦИАЛ - в
зующая электромагнитное пол лепоидальные) поля вообще, уравнению Пуассона:
дЧК = - 4м где Л2- так паз. оператор Лапла
W - В.-п. поля, •» - величина ляющая плотность источника В.-п. может быть представлс.
где интегрирование распрост] полю (г - расстояние от источ. пространства, для которой onj. В.-п., V - элемент объема).
Это расширение уравнения Г во, если вектор W и его прос водные конечны и непрерывны в если выражения rW fc п г2ЛИ- ,с цента вектора) остаются конечнь и конечен и убывает на бескон что интеграл ( ) сходится.
-j- Х и. ,
мулой (3). и н ортонормиро-онечпомерный слу-•о обобщение имеет (см. Ортогональные
н а л ь п ы м к он ортогонален к ть всех векторов, •ся подпростран-
а л ь н ы м д о-
н с т в a R. В . ортогональным прямая, ортого-
iIOCKOCTb. МОЖНО
ерного простран-
ч /--мерному ПОД-
- г. Эта гсометри-iHou теореме тео-ний. одных уравнений
(5)
остриистие векторы
во внимание опт>е->рмулу (It), можно
ая оболочка векторов мнения спгтемы (5) к Л. Размерность г
стсмы (5). По теореме Л пени я размерность
екцпп по лшк йпой Л. П.. Осноны ли-
в и ч Г. В., Основы I. -Л., 1948; III р е й-
в линейную алгебру леи., т. 1, М. - Л.,
ичина, характерп-и вихревые (со-.-ц. удовлетворяет
зекторпая), опреде-вихрсвого ноля, виде:
няется по всему ка поля до точки деляется значение
ассона справедли-анственные произ-всем пространстне; Wit - к-ая компо-и при гоо, а вектор шостн так быстро,

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710 720 730 740 750 760


Большая Советская Энциклопедия Второе издание