Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Введенский Б.А. Большая советская энциклопедия Том 10
 
djvu / html
 

540
ГЕОМЕТРИЯ
дач. В результате всего этого в Г. определились два метода: синтетический (или собственно геометрический) и аналитический. Первый развился из пространственного опыта; с логич. стороны он состоит в оперировании самими геометрич. понятиями (хотя бы и относящимися к абстрактным пространствам). Второй является развитием вычислительных приёмов, идущих от счёта и измерений; с логич. стороны он состоит в сведении геометрич. понятий и выводов к аналитическим (числам, уравнениям, функциям, вычислению и т. п.). Это разделение (отличное от другого разделения анализа и синтеза, как способов рассуждения, хотя и связанное с ним) принято в Г. Ясное представление о синтетич. и аналитич. методах дают известные из средней школы, с одной стороны, геометрические и, с другой стороны, тригонометрические или алгебраические способы решения задач; синтетич. метод применяется для решения задачи построением, аналитический — вычислением. В сколько-нибудь сложных случаях чёткое разделение этих методов часто оказывается невозможным, и можно установить лишь большее или меньшее преобладание того или другого. В современных геометрич. теориях аналитич. метод играет очень большую, часто определяющую роль. Он применяется не только для доказательства теорем и решения задач, но и как средство определения основных понятий той или иной теории. Примером может служить аналитич. определение гс-мерного эвклидова пространства, данное в конце гл. Обобщение предмета геометрии. Аналитически определяются также многие другие абстрактные пространства, рассматриваемые в Г. Геометрия располагает теперь специальными аналитическими теориями: векторным исчислением и тензорным исчислением (см.).
У. Основания геометрии.
Основания Г. в широком смысле — это вся совокупность её связей с действительностью, её основных положений и принципов логич. построения. В этом смысле основания Г. выходят за пределы математики. В математике же основания Г. понимаются в более узком, чисто математич. смысле и включают следующие задачи: 1) Выяснение тех понятий и положений, к-рые можно принять за основу при логич. построении данной геометрич. теории, а также вывод отсюда других её основных понятий и положений (так, напр., понятие площади не принимается за исходное при построении эвклидовой Г., но его определение принадлежит основаниям эвклидовой Г.). 2) Обоснование геометрич. теории с точки зрения общих идей современной математики (напр, топологии и теории групп). 3) Анализ т. н. полноты и, особенно, непротиворечивости аксиом Г. (см. ниже — Истолкования геометрии). В этом смысле нельзя говорить об основаниях всей Г., а только об основаниях той или иной геометрич. теории. Обычно же под основаниями Г. подразумевают основания эвклидовой Г. Так как Г. и первоначальном значении есть наука о пространственных формах и отношениях, то основания её дают анализ этих элементов действительности, т. е. аксиомы Г. в своём исходном значении суть основные законы пространственных отношений, подобно тому как законы механики суть законы механического движения. Основания Г. вырабатывались в Древней Греции в 5 в. до н. э. Демокритом, Евдоксом и др. Это было необходимо связано с выделением Г. в самостоятельную математич. науку. Итоги этой работы были подведены в «Нача-
лах» Эвклида (начало 3 в. до н. э.), где основания Г. даются в виде определений, постулатов и «общих понятий», называемых также аксиомами.
Определения Эвклида начинаются следующими: «1.Точка есть ю, что не имеет частей. 2. Линия же — длина без ширины. 3. Концы же линии — точки. 4. Прямая линия есть та, которая одинаково расположена по отношению к своим точкам»..., и далее в том же духе определяются плоскость, угол, граница, фигура, круг и т. д. Это не формальные определения, а описания того, о чём человек уже имеет представление (может быть, и недостаточно чёткое). За определениями идут постулаты. «Допустим: 1. Что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую. 2. Что ограниченную прямую можно неограниченно продолжить. 3. Что из всякого центра всяким раствором [циркуля] можно описать круг. 4. И что все прямые углы равны. 5. Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и лежащие по одну сторону углы, меньшие (в сумме) двух прямых, то неограниченно продолженные эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых». (Это и есть знаменитый 5-й постулат в подлинной формулировке). За постулатами идут аксиомы, говорящие о геометрич. величинах: «1. Равныеодному итому же равнымеяеду собой. 2 Если к равным прибавить равные, то и целые будут равны... 7. Совмещающиеся друг с другом равны. 8. Целое больше части». Теперь и постулаты и аксиомы объединяют под общим названием аксиом. (В нек-рых списках «Начал» разделение постулатов и аксиом другое; принцип их разделения имеет разные толкования).
За аксиомами идут теоремы, доказываемые в строгой последовательности. Но уже в первых из них используются факты и понятия, не оговорённые явно ни в определениях, ни в аксиомах. Говорится о расположении точек и фигур «между», «с одной или с другой стороны», используется то, что две окружности пересекаются при соответствующем расположении их центров, понятие совмещения фигур основывается на представлении о движении, к-рое не фигурирует ни в определениях, ни в аксиомах. «Начала» далеко еще не дают исчерпывающего анализа оснований Г., а постоянно опираются на непосредственную очевидность; однако изложение их достаточно убедительно. Система Г., данная Эвклидом, оставалась неизменной до 19 в.; её лишь комментировали, давали новые определения, пытались вывести 5-й постулат.
Построение Лобачевским его Г. и последующее развитие других геометрий поставили по-новому вопрос об основаниях Г., необходимо побуждая к более точному их анализу. Важную роль играла' здесь также общая тенденция к уточнению основ математики. В работе, приведшей к качественно новому построению основ Г., участвовали многие учёные. Г. Гельмгольц (известный физик) выдвинул в 1866 как основное для Г. понятие о движении и включил его в свою систему постулатов, глубоких, но не элементарных. Г. Кантор в 1871 и Р. Деде-кинд в 1872 формулировали аксиомы непрерывности, выражающие в математич. форме наглядное представление о непрерывности прямой. В 1882 М. Паш формулировал аксиомы порядка. Наконец, в 1899 Д. Гильберт опубликовал «Основания геометрии», где дал полную и простую систему аксиом эвклидовой Г. Хотя здесь вопрос об аксиоматике эвклидовой Г. был в принципе решён, оставалась ещё работа по усовершенствованию системы Гильберта и выработке других систем, поскольку гильбертовская не может считаться единственно целесообразной во всех случаях. За основные можно принимать разные понятия и положения; так, вместо понятия о бесконечной прямой можно класть в основу понятие об отрезке, вместо понятия о равенстве фигур — понятие о движении и определять равенство как совмещаемость, можно также брать за основу понятие о расстоянии. На последнем построил свои «Основания геометрии» В. Ф. Каган (1905).

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 560 570 580 590 600 610


Большая Советская Энциклопедия Второе издание