Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Введенский Б.А. Большая советская энциклопедия Том 12
 
djvu / html
 

470
ГРАФИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
основан простой способ решения уравнений вида
иХт-{- Ъхп-\- СХР~\- d— П
Графическое интегрирование. Вычисление опреде-ь
лепного интеграла
ах основано на замене
графика подпнтегральной функции y—j(x) ступенчатой ломаной. На рис. 12 изображена криволинейная трапеция аАВЬ, площадь которой численно равна вычисляемому интегралу.Для построения ломаной криволинейную трапецию разрезают прямыми, параллельными оси Оу, на ряд полос—элементарных криволинейных трапеций. В каждой из них отрезок кривой заменяют отрезком, параллельным оси Ох, так, чтобы по-
лучающиеся прямоугольники имели примерно ту же площадь, что и соэлементарные криволинейные тра-
Рис. 11.
ответствующие
пеции (ломаная изображена на рисунке жирной
линией). Площадь, ограниченная ломаной, равна сумме площадей построенных прямо-
у,
a &xt
угольников, т. е.
») ДЧ ° ^1
2j У* 4**. где Л*А— Рис. 12. ft=l
длина основания
k-ro прямоугольника, yk— одно из значений функции y=j(x) на отрезке ДжА, равное высоте прямоугольника. Это выражение принимают за приближён-
Г ^
ное значение интеграла \ j(x)dx. Сумму 2j Uk ЛжА
ъ = 1 а
вычисляют графически так, как уже было указано.
На рис. 13 выполнены все построения, необходи-Ь
мые для вычисления \ j(x)dx, где функция y=j(x)
а
задана графиком ACu...CiB. После разбиения криволинейной трапеции на части прямыми, проходя-
щими через точки Ai,...,At, построены прямоугольники. Высоты их, ординаты точек С„..... С4, снесены
на ось Оу. Полученные точки Р0,...,.Р4 соединены с точкой JP(O.P=1). Затем, начиная от точки а, построена ломаная aBi...B6, звенья к-рой параллельны соответствующим отрезкам РР0, PPi,...,PPt. Величина интеграла численно равна ординате точки Въ. В простейшем случае ступенчатую ломаную строят «на глаз», стремясь к тому, чтобы площади образующихся между ломаной и кривой криволинейных треугольников для каждой из полос были равны (два таких треугольника на рис. 12 заштрихованы). Существуют способы, позволяющие определять значения yi, более надёжно. Если элементарная трапеция ограничена дугой параболы (рис. 14), то yis можно найти точно. Для этого через середину хорды LN проводят прямую КМ параллельно оси Оу. Отрезок КМ делят на три равные части и через точку деления R, ближайшую к кривой, проводят соответствующее звено ломаной. Применение такого способа построения ломаной для случая произвольной кривой равноценно замене отрезков кривой отрезками дуг парабол и является графич. осушествлениемвычисленияинтегра- р ,,
ла по формуле парабол (Симпсона) vac. 14.
(см. Приближённое интегрирование).
Для построения графика первообразной функции y=f(x), т. е. \ f(x)dx, достаточно соединить плав-
получаемой при вы-
(на рис. 13 точки a, BI,
ной кривой вершины ломано
п
числении суммы
fc-l
Графическое дифференцирование. График производной может быть построен по значениям тангенса угла наклона касательной к графику данной функции в различных его точках. Но точность такого построения мала из-за больших погрешностей при определении направлений касательных. Существует ряд приборов, облегчающих эту операцию (см. Математические приборы). Рис. 15.
График производной
строят также по секущим, повторяя в обратном порядке процесс графич. интегрирования, изображённый на рис. 13. Для этого график функции (рис. 15) разбивают на части прямыми, параллельными оси Оу и проведёнными через равные расстояния Дя. Через точки деления А\, А2,... проводят отрезки ABlt AiBfr..., параллельные оси Ох. Отрезки BiAi, B2Az,... равны соответствующим приращениям функции. Их откладывают от оси Ох. По полученным точкам A'I, A'2,... строят ступенчатую ломаную. Затем проводят кривую, следя за тем, чтобы криволинейные треугольники в пределах одной ступени ломаной имели равные площади. Эта кривая и является графиком производной. Масштаб значений производной получается из масштаба значений функции умножением на Д х.
Графическое интегрирование дифференциальных уравнений. Дифференциальное уравнение первого
порядка -<г-=](х,у) определяет на плоскости поле
направлений. Задача интегрирования уравнения заключается в проведении крииых, касательные к

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630


Большая Советская Энциклопедия Второе издание