Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Введенский Б.А. Большая советская энциклопедия Том 13
 
djvu / html
 

140
ГРУППЫ
умножением. Произведением М на N (символически MN) называется совокупность тех элементов группы G, каждый из к-рых может быть представлен как произведение нек-рого элемента из М на нек-рый элементна JV. В частности, произведение gM, где g — элемент из G, есть совокупность произведений элемента g на каждый элемент из М. Подгруппа Н группы G называется инвариантной подгруппой, или нормальным делителем группы G, если хЯ=Ях для любого х из G. Совокупности вида хН, Нх называются классами смежности группы G по подгруппе Я. Если Я — инвариантная подгруппа, то произведение двух классов смежности будет снова классом смежности, именно: хН уН=хуН. Можно показать, что операция умножения классов смежности удовлетворяет всем групповым требованиям, и, таким образом, совокупность всех классов смежности по инвариантной подгруппе сама является Г. Эта Г. носит название фактор-группыСпоЯи обозначается G/Я. Если группа G конечна, то число элементов факторгруппы G/Я равно числу элементов G, делённому на число элементов Я.
Из определений видно, что всякая подгруппа абеле-вой Г. инвариантна. Другой крайний случай представляют простые группы, ни одна истинная подгруппа к-рых не будет инвариантной. Важное значение имеют также разрешимые Г., то-есть Г., обладающие хотя бы одной цепочкой G,Gb ...,G(t инвариантных подгрупп, из к-рых каждая следующая содержится в предыдущей, начинающейся самой группой G и оканчивающейся подгруппой, состоящей лишь из нейтрального элемента, причём все факторгруппы G/Gi..... G/j—1/Gfc являются абелевыми Г. Наименование разрешимых эти Г. получили вследствие связи их с задачей решения в радикалах уравнений высших степеней.
Чтобы задать Г., нужно: 1) указать, какие объекты являются её элементами, и 2) указать закон умножения. Сообразно этому при изучении свойств Г. можно придерживаться -различных точек зрения: 1) Можно изучать связи между индивидуальными свойствами элементов Г. и их совокупностей, а также свойствами их по отношению к групповой операции, — этой точки зрения часто держатся при изучении отдельных Г. 2) Можно изучать лишь те свойства Г., к-рые целиком выражаются через групповую операцию; эта точка зрения характерна для абстрактной, или общей, теории Г. Более отчётливо она может быть выражена с помощью понятия изоморфизма. Две группы называются изоморфными, если элементы одной из них можно взаимно-однозначно сопоставить с элементами другой так, что произведению произвольных элементов первой Г. будет отвечать произведение соответствующих элементов второй. Соответствие между элементами двух Г., обладающее указанными свойствами, называется изоморфным. Легко видеть, что элементы двух Г., отвечающие друг другу при изоморфном соответствии, будут обладать одинаковыми свойствами по отношению к групповой операции. Так, при изоморфном соответствии нейтральный элемент, взаимно обратные элементы, подгруппы, нормальные делители одной Г. переходят соответственно в нейтральный элемент, взаимно обратные элементы, подгруппы, нормальные делители другой Г. Поэтому можно сказать, что абстрактная теория Г. изучает лишь те свойства Г., к-рые сохраняются при изоморфных отображениях.
Наряду с изоморфизмом в теории Г. важную роль играет понятие гомоморфизма. Пусть каждому элементу группы G сопоставлен один определённый элемент группы F, причём каждый элемент из F сопоставлен с одним или несколькими элементами из G. Это соответствие называется гомоморфным отображением G на F, если произведению любых двух элементов G отвечает произведение соответствующих элементов F. Группа F в этом случае называется гомоморфным образом группы G. Важность гомоморфных отображений состоит в том, что ряд свойств Г; сохраняется и для их гомоморфных образов. Существование Г., к-рые могут служить гомоморфными образами данной Г., весьма просто связано с существованием нормальных делителей последней. Именно каждая фактор-группа заданной Г. является её гомоморфным оОразом, и, наоборот, каждая Г., являющаяся гомоморфным образом данной Г., изоморфна нек-рой фактор-группе последней Г.
II. Теория алгебраических уравнений и конечные группы.
Во 2-й половине 18 в. Ж. Лагранжем (см.) было вскрыто важное значение подстановок для решения в радикалах уравнений высших степеней. В работах Н. Абеля и Э. Галуа (см.), относящихся уже к 1-й половине 19 в., были найдены глубокие связи между свойствами Г. подстановок и свойствами уравнений. Это вызвало необходимость более подробного изучения свойств Г. подстановок, теория к-рых впоследствии выделилась в самостоятельную дисциплину, способствовавшую созданию других ветвей теории Г. Исследование связей между свойствами Г. и свойствами уравнений является ныне предметом т. н. теории Галуа (см. Галуа теория). Пусть дано уравнение
где коафициенты рассматриваются кап данные комплексные числа. Совокупность чисел, к-рые можно получить из коэфициентов с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения и деления, называют основным полем уравнения. Совокупность чисел, к-рые можно получить с помощью конечного числа тех же операций, исходя из решений уравнения, называют полем разложения. Ясно, что основное поле в общем случае составляет лишь часть поля разложения. Относительными а н т о м о р ф и з-м а м и поля разложения называются вааимно-однознач-ные преобразования множества его чисел, при к-рых: 1) каждое число основного поля переходит в себя; 2) если числа а, Ь, с поля разложения связаны равенством а-}-Ъ=с, то соответствующие им числа связаны аналогичным равенством а'4Ь' = с'; 3) если числа а, Ь, с связаны равенством аЬ = с, то и числа а', Ь', с' связаны таким же равенством а'Ь' = с'. Легко доказывается, что произведение двух относительных автоморфизмов есть относительный автоморфизм и что преобразование, обратное относительному автоморфизму, есть также относительный автоморфизм. Следовательно, относительные автоморфизмы поля разложения составляют Г., к-рая носит название групп ьг Галуа данного уравнения. Преобразования этой Г. переводят корни заданного уравнения в корни того же уравнения и, таким образом, в множестве корней вызывают нек-рые подстановки, причём знание подстановки делает известным и соответствующее преобразование группы Галуа. Поскольку общее число подстановок п корней равно произведению l-2-...-Ti и не каждая подстановка обязана отвечать нек-рому преобразованию группы Галуа, то порядок группы Галуа уравнения степени п не может превосходить указанного произведения. Однако дли каждого п существуют уравнения, группы Галуа которых содержат в точности указанное максимальное число преобразований и потому являются изоморфными полной симметрической Г. степени п. Таково, например, уравнение
, П , П (П— 1 )1 ,, _L f 1 \п ^ п__П
ГХ~*Г2~ Ь2 х —•••+(— I {727....п Х ~~ ' Этим же свойством обладает и общее уравнение степени п с буквенными коэфициентами.
Все существенные вопросы, касающиеся возможности сведения решения заданного уравнения к решению уравнений низших степеней, могут быть сформулированы как вопросы о строении группы Галуа. В частности, группа Галуа данного уравнения разрешима только в том случае, если все корни уравнения можно получить из его коо-фициентов с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корня, т. е. в тех случаях, когда уравнение разрешимо в радикалах.
Непосредственные подсчёты показывают, что симметрические Г. 2-й, 3-й и 4-й степени разрешимы, что находится в полном согласии с общеизвестным фактом разрешимости в радикалах уравнений упомянутых степеней. Напротив, симметрические Г. 5-й степени и выше — неразрешимы. Отсюда следует, что общие уравнения 5-й и более высоких степеней, а также приведённое выше уравнение с рациональными коэфициентами при п^Ь не могут быть разрешены в радикалах.
Первую половину 19 в. теория Г. развивалась в качестве вспомогательной дисциплины для теории алгебраич. уравнений, и поэтому Г. рассматривались преимущественно лишь как Г. конечных подстановок. Сводное изложение обширного относящегося сюда материала было дано в 1870 К. Жор-даном (см.). В дальнейшем обнаружилось, что над-

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670


Большая Советская Энциклопедия Второе издание