Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Введенский Б.А. Большая советская энциклопедия Том 14
 
djvu / html
 

400
ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ — ДИОФИЗИТЫ
решении в целых числах систем линейных уравнении (многомерные задачи Д. п.) особенно известна теорема, принадлежащая немецкому математику Л. Кро-некеру: если <»i,..., <*я — действительные числа, для к-рых равенство а1 «1 + ... + а„ап = 0 с целыми и!,..., а„ возможно лишь при аг = ... = ап = О, а ?!>•••> $п — нек-рые действительные числа, то при любом заданном е>0 можно найти число t и такие целые числа XL,..., х„, что выполняются неравенства \tak — fij, — xk\ < е, k= 1,2,..., п. Для решения многомерных задач Д. п. весьма плодотворным является т. п. принцип Дирихле (см. Дирихле принцип). Методы, основанные на принципе Дирихле, позволили советскому математику А. Я. Хинчину и другим учёным построить систематич. теорию многомерных Д. п. Для теории Д. п. важное значение имеет связь с геометрией, основанная на том, что систему линейных форм с действительными коэфициентами можно изобразить как решётку в я-мерном арифмстич. пространстве. В самом конце 19 в. немецкий математик Г. Минковский доказал ряд геометрич. теорем, имеющих приложения в теории Д. п.
В вопросах нелинейных Д. п. замечательные результаты получил советский математик И. М. Виноградов. Созданные им методы занимают центральное место в этой области теории чисел.
К Д. п. относится теория трансцендентных чисел (см.). Теория Д. п. тесно связана с решением уравнений в целых числах (см. Диофантовы уравнения) и с различными задачами аналитич. теории чисел.
Лит.: X и н ч и н А. Я., Цепные дроби, 2 изд., М. — Л., 1949; Виноградов И. М., Метод тригонометрических сумм в теории чисел, М.—Л., 1947 (Труды Математич. ин-та им. В. А. Стеклова, т. 23); Гельфонд А. О., Приближение алгебраических чисел алгебраическими же числами и теория трансцендентных чисел, «Успехи математических наук», 1949, т. 4, вып. 4; К о k в m a J. F., Diophantische Approximationen, В., 1936.
ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ (по имени александрийского математика Диофанта, см.) — алгебраические уравнения или системы алгебраич. уравнений с целыми коэфициентами, у к-рых разыскиваются целые или рациональные решения. Число неизвестных в Д. у. превосходит число уравнений и поэтому их иногда называют неопределёнными. Первоначальное понятие Д. у. в современной математике расширено: Д. у. — это уравнения, у к-рых разыскиваются решения в алгебраических числах (см.).
Простейшим Д. у. является уравнение ах + by = — 1, где а и Ъ — целые взаимно простые числа. Такое Д. у. имеет бесконечно много целых решений: чтобы найти одно целое решение х„ и у0, можно воспользоваться свойствами алгоритма Эвклида (см.); далее, числа х = ха + Ъп и у = уй — an (n — любое целое число) будут решениями, к-рыми исчерпывается вся совокупность целых решений. Так, напр., все целые решения уравнения 2х + Зу =1 получаются по формулам: х = 2 + Зл, !/•= — 1—2ге (здесь #0 = 2 и у0 = — 1). Другим простым примером Д. у. является xs + уг = z2. Целые положительные решения этого уравнения представляют длины катетов (х, у) и гипотенузы (z) прямоугольных треугольников с целочисленными длинами сторон и называются пифагоровыми числами. Все тройки взаимно простых пифагоровых чисел можно получить по формулам: х = т" — л2, у — 2тп, z— те2 + л2, где тип — целые числа (т >• п> 0).
Диофант в соч. «Арифметика» занимался разысканием рациональных (не обязательно целых) решений специальных видов Д. у. Общая теория решения Д. у.первой степени была создана в 17 в. франц.
математиком Ваше. К началу 19 в. трудами П. Ферма, Дж. Валлиса, Л. Эйлера, Ж. Лагранжа и К. Гаусса (см.) в основном было исследовано Д. у. вида
ахг + Ьху + су* + dx + еу + f = О,
где а, Ъ, с, d, e, f — целые числа, т. е. общее неоднородное уравнение второй степени с двумя неизвестными. Ферма утверждал, напр., что Д. у. (называемое уравнением Пелля) xz — dy2 = 1, где d — целое положительное число, не являющееся квадратом, имеет бесконечно много решений. Валлис и Эйлер дали способы решения этого уравнения, а Лагранж доказал, что оно имеет всегда бесконечно много решений. С помощью метода непрерывных дробей Лагранж исследовал общее неоднородное Д. у. второй степени с двумя неизвестными. Гаусс построил общую теорию квадратичных форм (см.), являющуюся основой решения нек-рых типов Д. у. Исследование Д. у. степени больше второй с двумя неизвестными достигло серьёзных успехов лишь в 20 в. Норвежский математик А. Туэ установил, что Д. у.
п , п~\ . . п
аах + ai х у + ... + апу = с
(а0, «!,..., а„, с — целые и многочлен aatn + а^""1 -f-+... +an — неприводим в поле рациональных чисел) при п ^ 3 не может иметь бесконечного числа целых решений. Однако метод Туэ не даёт возможности вычислять ни границы, в к-рых находится решение, ни число решений. Советский математик Б. Н. Делоне создал другой метод исследования, охватывающий более узкий класс Д. у., но позволяющий определить границы числа решений. В частности, его методом полностью решается Д. у. ах3 + + у* =1.
Теория алгебраических чисел (см.) тесно связана с Д. у. Изучение Д. у., в особенности попытки доказать теорему о невозможности решения в целых положительных числах уравнения х" + у" = zn при п> 2 (в ел икая теорема Ферм а), стимулировало развитие теории алгебраич. чисел.
Важным направлением теории Д. у. является изучение рациональных точек (т. е. точек, у к-рых обе координаты рациональные числа) на алгебраич. кривых. Эта задача эквивалентна решению в целых числах однородных уравнений. Каждой алгебраич. кривой сопоставляется целое число ргО — род (см.) кривой. Нахождение рациональных точек на кривых рода 0 сводится к нахождению рациональных точек на прямых или на кривых второго порядка.
Развитой главой теории Д. у. является изучение квадратичных форм с рациональными коэфициентами. При иссле-
п
довании целых ненулевых решений уравнения 2 а..х.у~0,
»,3=1 '
где а..— рациональные числа, достаточно ограничиться '' п
лишь уравнением 2j а-я? = О, а. — целые =? 0. При п 3= 5
i=l г г г
это уравнение всегда разрешимо, если только оно имеет ненулевые действительные решения. Случаи п=1, п = 2 очевидны, имеются исследования случаев п — 3, п = 4.
Существует много других направлений теории Д. у. Советским математикам В. Н. Делоне, А. О. Гельфонду, Д. К. Фаддееву, В. А. Тартаковскому принадлежат фундаментальные работы по теории Д. у.
Лит.: Гельфонд А. О., Решение уравнений в целых числах, М. — Л., 1952; Арнольд И. В., Теория чисел, М., 1939; Венков Б. А., Элементарная теория чисел, М.—Л., 1937; Делоне Б. Н. иФаддеевД. К., Теория иррациональностей третьей степени, М.—Л., 1940; Диксон Л. Е., Введение в теорию чисел, пер. с англ., вып. 1, Тбилиси, 1941; S k о 1 е m A.,Diophantische Gieichungen.B., 1938; Dlckson L. Е., History of the theory of numbers, v. 2, Washington, 1923.
ДИОФИЗИТЫ (от греч. Suo — два и «роле —естество, природа) — приверженцы одного из богословских направлений в Восточно-Римской империи. В отличие от несториан (см. Несторианство), отстаивав-

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650


Большая Советская Энциклопедия Второе издание