Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Введенский Б.А. Большая советская энциклопедия Том 14
 
djvu / html
 

500
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
шлющиеся при аффинных, проективных и других преобразованиях (см. Преобразования геометрические). 2) Теории, изучающие дифференциальные свойства гсометрич. образов в неэвклидовых, вообще говоря, многомерных пространствах (напр., в трёхмерном или многомерном пространстве Лобачевского), как и дифференциальные свойства самих неэвклидовых пространств. Исследование неэвклидовых пространств (их иногда называют «кривыми» пространствами) составляет весьма большой и важный раздел Д. г., имеющий тесные связи с физикой, особенно с теорией относительности.
Отвлечение от специальных свойств геометрия, образов, изучаемых в Д. г., приводит к общему понятию дифференциально-геометрич. многообразия (см. далее — раздел IV), содержащему как частные случаи понятия кривой, поверхности, семейства кривых и поверхностей в эвклидовом и в неэвклидовых пространствах, а также сами эти пространства. Таким образом, дифференциально-геометрич. многообразие является предметом Д. г. вообще.
О роли групп преобразований и различных обобщений понятия пространства подробно изложено в статье Геометрия (см.).
I. Кривые.
1) Кривые, рассматриваемые в Д. г., имеют во всех своих точках, кроме, может быть, нек-рых «особых» точек, определённую касательную (см.). При обычных в Д. г. допущениях достаточной «гладкости» кривой (см. о пих пункт 14) длина перпендикуляра XL (рис. 1), опущенного из точки кривой К на касательную МТ
________ в точке М, является бесконечно
• ~f малой величиной, порядок ма-
Рис. 1. лости к-рой по сравнению с дли-
ной отрезка ML не ниже в т о-
KL
р о г о (т. е. отношение TJ^L), остаётся ограниченным, когда точка К приближается к М).
2) Мерой отклонения кривой от касательной МТ является кривизна (k) кривой в точке М:
где предел берётся при стремлении точки К к точке М. 3) Кривизну можно также рассматривать как меру скорости изменения направления кривой. Если обозначить (рис. 2) через а угол между касательными в точках М и К и через As длину дуги МК, то
А = lim ?|-«
При нек-рых условиях кривизне (см.) плоской кривой естественно приписывают знаки плюс или минус, однако в дальнейшем изложении кривизна везде неотрицательна (АэО).
4) В частном случае, когда линия — прямая, направление S её во всех точках одно и то
Рис. 2. же; следовательно, для лю-
бого отрезка М К будет а = 0 и,
значит, k = 0, т. е. кривизна прямой во всех точках равна нулю. В другом частном случае, когда линия — окружность, угол а равен центральному углу дуги МК (рис. 3); поэтому As = aR (R — радиус окружности) и k = lim ^ = д > т- е- кривизна
окружности во всех точках одинакова и равна обратной величине радиуса. В случае произвольной линии кривизна в разных точках, вообще говоря, различна; напр, на рис. 4 кривизна изображённой линии в точке Q больше, чем в точке М.
5) Для характеристики искривлённости кривой вблизи данной точки применяются также окружность (круг) кривизны, радиус кривизны и центр кривизны. Пусть М—фиксированная точка
кривой Г (кривизна её в точке М предполагается отличной от нуля); пусть, далее, х — нек-рая окружность, касающаяся Г в точке М, МТ — общая касательная к Г и к окружности У. в точке М (рис. 5), К и Н —-точки, соответственно, на Г и на х, имеющие общую проекцию L на МТ. Если точки К и Я стремятся к точке М (вместе с тем и L~M), то расстояние КН является величиной 2-го порядка малости сравнительно с ML, а для одной особой окружности х расстояние К Н оказывается величиной 3-го (или выше) порядка. Эта особая окружность х называется соприкасающейся окружностью кривой Г в точке М (если в точке М кривизна равна нулю, то соприкасающаяся окружность вырождается в прямую). Сущность изложенного заключается в том, что малую дугу произвольной кривой можно считать дугой окружности, именно — соприкасающейся окружности в нек-рой её точке, если учитывать величины только 1-го и 2-го порядка малости (сравнительно с размерами дуги). Кривизна произвольной кривой в данной точке совпадает с кривизной соприкасающейся окружности в той же точке. Поэтому соприкасающуюся окружность называют также окружностью (кругом) кривизны, а её центр и радиус — центром и радиусом кривизны кривой (в данной точке). Прямая, соединяющая центр кривизны с точкой М, перпендикулярна касательной; в случае плоской кривой это — нормаль, а в случае пространственной— главная нормаль (вообще, нормалью к кривой в точке М называется любой проходящий через М перпендикуляр к касательной). Кривизна k и радиус кривизны р в любой точке кривой связаны соотношением: k — — .
Р
Геометрич. место центров кривизны (плоской) кривой называется её эволютой (см. Эволюта и эвольвента). Сама кривая по отношению к своей эволюте называется эвольвентой. Нормаль эвольвенты касается эволюты в центре кривизны (на рис. 6 изображена эволюта эллипса; точка С является центром кривизны эллипса в точке М).
М
Рис. 6.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650


Большая Советская Энциклопедия Второе издание