Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Введенский Б.А. Большая советская энциклопедия Том 14
 
djvu / html
 

520
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОШЛИНЫ — ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
есть квадрат модуля вектора grad to (см. Градиент), Д2Ф есть оператор Лапласа от функции <р (см. Лапласа оператор).
Термин «Д. п.» был введён итал. математиком Б. Вель-трами (см.). Однако он называл Д. п. дифференциальные инварианты метрич. формы поверхности, совпадающие с 4,9 и Д,ч> при п = 2, т. е. в том случае, когда поверхность является плоскостью.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОШЛИНЫ — см. в статьях Пошлина, Таможенный тариф.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Содержание:
I. Обыкновенные дифференциальные уравнения .... 520 II. Способы решения и специальные вопросы теории
обыкновенных дифференциальных уравнений .... 524 III. Дифференциальные уравнения с частными производными ........................525
Дифференциальные уравнения — уравнения, содержащие искомые функции, их производные различных порядков и независимые переменные. Теория Д. у. возникла в конце 17 в. под влиянием потребностей механики и других естественно-научных дисциплин, по существу одновременно с интегральным исчислением и дифференциальным исчислением (см.). Простейшие Д. у. встречались уже в работах И. Ньютона и Г. Лейбница (см.).
Сам термин «Д. у.» принадлежит Лейбницу. Что касается Ньютона, то он ставил своему исчислению «флюксий» и «флюент» две основные задачи: 1) по данному соотношению между флюентами определить соотношение между флюксиями, 2) по данному уравнению, содержащему флюксии, найти соотношение между флюентами. С современной точки зрения первая из этих задач (вычисление по функциям их производных) относится к дифференциальному исчислению, а вторая составляет содержание теории обыкновенных Д. у. Задача нахождения неопределённого интеграла F (х) функции / (х) рассматривалась Ньютоном просто как частный случай его второй задачи. Такой подход к делу был для Ньютона как создателя основ математич. естествознания вполне оправданным: в очень большом числе случаев законы природы, управляющие теми или иными процессами, выражаются в форме Д. у., а расчёт течения этих процессов сводится к решению Д. у. Собственно говоря, именно к этому методу решения задач математич. естествознания относится известное указание Ф. Энгельса: «Лишь диференциальное исчисление дает естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы: движение» (Энгельс Ф., Диалектика природы, 1952, стр. 218).
Следующие два простых примера могут служить иллюстрацией к сказанному:
1) Если тело, нагретое до температуры Т, помещено в среду, температура к-рой равна нулю, то при известных условиях можно считать, что приращение ДТ (отрицательное в случае 71>0) его температуры за малый промежуток времени Д? с достаточной точностью выражается формулой ДГ = — kTM,
где k — постоянный коэфициент. При математич. обработке этой физич. задачи считают, что выполняется точно соответствующее предельное соотношение между дифференциалами dT = — kTdt, i. e. имеет место Д. у.
Т = — kT, (1)
где Т' обозначает производную по t. Решить полученное Д. у. или, как выражаются иначе, проинтегрировать его, значит найти функции, обращающие
его в тождество. Для уравнения (1) все такие функции (т. е. все его частные решения) имеют-вид
Т = Се~ ы, (2)
где С — постоянно. Сама формула (2) с произвольной постоянной С называется общим решением уравнения (1).
2) Пусть, напр., груз Р массы т подвешен к пружине и находится в положении равновесия (рис. 1, а). Отклоняя его от положения равновесия с
помощью растяжения пружины (см. рис. i, б), приводят груз в движение. Если х (t) обозначает величину отклонения тела от положения 'равновесия в момент времени t, то ускорение тела выражается 2-й производной x"(t). Сила mx"(t), действующая на тело, при небольших растяжениях пружины, по законам теории упругости, пропорциональна отклонению х (t). Таким образом, получается Д. у.
mx"(t) = — kx(t). (3)
Его решение имеет вид (см. рис. 1, в)
и показывает, что тело будет совершать гармонические колебания (см.).
Выделение теории Д. у. в самостоятельную детально разработанную научную дисциплину относится к 18 в. и было осуществлено Д. Вернулли, Ж. Д'Аламбером (см.) и, в особенности, Л. Эйлером (см.).
Д. у. делятся на «обыкновенные», содержащие производные одной или нескольких функций одного независимого переменного, и «уравнения с частными производными», содержащие частные производные функций нескольких независимых переменных. Порядком Д. у. называется наибольший порядок входящих в него производных. Так, напр., сМ*,() = аа a'^*'t) есть Д. у. с частными производными 2-го порядка.
I. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Уравнения 1-го порядка. Обыкновенным Д. у. 1-го порядка с одной неизвестной функцией (только такие пока будут рассматриваться) называется соот-
ИОШеНИе *(*.*»•) -О (А)
между независимым переменным х, искомой функцией у (х) и её производной у' = ~ . Если уравне-
ние (А) может быть разрешено относительно производной, то получается уравнение вида
У' = /(*,!/). (Б)
Многие вопросы теории Д. у. проще рассматривать для таких разрешённых относительно производной

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650


Большая Советская Энциклопедия Второе издание