Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Введенский Б.А. Большая советская энциклопедия Том 17 нет стр 577-588
 
djvu / html
 

320
ИДЕАЛ
по своим возможностям развитие общества и осуществится полный расцвет всех сил и способностей человека. Закономерный характер поступательного развития общества и активная борьба сил прогресса против реакции обрекают на неизбежный крах «идеалы» гибнущих эксплуататорских классов и ведут к столь же неизбежному торжеству И. рабочего класса. Коммунистический И. общества свободных людей, не знающих ига эксплуатации, сознательно использующих на благо общества объективные законы природы и общественного развития, — отличается своей нравственной и эстетич. красотой. Он вдохновляет людей на подвиги во имя счастья трудящегося человечества. Он овладел сознанием широчайших масс рабочего класса и всех трудящихся, самоотверженно борющихся под руководством коммунистических и рабочих партий за его осуществление.
ИДЕАЛ (матем.) — одно из основных алгебраич. понятий. Возникнув первоначально в связи с изучением алгебраических иррациональных чисел, И. нашли впоследствии многочисленные применения в других отделах алгебры (гл. обр. в теории колец, см.).
Известно, что всякое целое рациональное число можно разложить в произведение простых множителей (напр., 00=2-2-3-5); множители такого разложения определяются однозначно с точностью до их порядка и до знака [60 = 2-5-3.2 = (—2)-2-(—3)-5] В 19 в. математики столкнулись с необходимостью разлагать на множители числа более общей природы. Если, напр., рассматривать числа вида т-\-пУ—5, где тип — любые целые рациональные числа, то так же, как и для обычных целых чисел, здесь каждое число всегда можно разложить в произведение далее неразложимых множителей. Однако такое разложение можно часто производить многими способами, т. е. в этом случае нарушается однозначность разложения. Так, число 9 (к-рое получается, если считать т=9, п=0) допускает здесь два различных разложения: 9 = 3-3 и 9 = (2+У^5) (2—/^5), причём ни один из множителей 3; 2+ У—5; 2—-У—5 дальше разложить в произведение чисел вида m + пУ—5 нельзя. Нарушения привычных законов однозначности разложения не будет, если свойство делимости связывать не с числами, а с И. В современной алгебре И. вводятся в произвольных кольцах. В случае числовых колец (таковым является, напр., рассмотренная выше совокупность чисел вида т + пУ~—5) И. называются также идеальными числами. И.— это совокупность чисел, принадлежащих данному числовому кольцу (а в случае произвольного кольца — совокупность его элементов), обладающая следующими свойствами: 1) сумма и разность двух чисел (элементов) совокупности принадлежит этой совокупности; 2) произведение числа (элемента) из этой совокупности на любое другое число (на любой другой элемент) кольца также принадлежит этой совокупности. Затем рассматривают вместо чисел соответствующие им И.; так, напр., числу 9 соответствует И. р=(9), состоящий из всех чисел, делящихся на 9.
Числовые понятия, связанные с делимостью чисел, переносятся на И.: один И. делится на другой, если любой элемент первого лежит также и во втором (для чисел это эквивалентно том}', что любое число первого И. делится хотя бы на одно число второго); произведение И. определяется как наименьший И., содержащий всевозможные попарные произведения элементов из обоих идеалов-множителей; наиболь-
ший общий делитель двух И.— наименьший И., содержащий элементы как первого, так и второго И., и др. В совокупности целых чисел любой И. состоит из кратных к.-л. фиксированного числа; любой И. является главным. В общем случае, уже для алгебраических иррациональных чисел, не всякий И. является главным. Делимость на главный И. эквивалентна делимости на соответствующее этому И. число. Благодаря наличию не главных И., для целых алгебраич. чисел остаётся справедливой теорема о том, что любой И. однозначно разлагается в произведение неразложимых далее И. Эти неразложимые И., называемые также простыми И., выполняют роль простых чисел и характеризуются тем, что обязательно содержат хотя бы один из множителей, если они содержат их произведение. В рассмотренном выше примере (3) = №г, (2 ±_У=5) = J)J, (2 - Ур5) = М, где})! = (3,2+ У— 5) и })2 = (3,2 — У—5) — новые И., напр. И. })х, являющийся наибольшим общим делителем И. (3) и (2-{-У—5), состоит из всех чисел вида 3& + (2-\-У—5)1, где k и I — любые целые рациональные числа.
Впервые понятие «И.» (или в первоначальной терминологии — «идеального числа») Выло введено в 1847 для одного частного случая числовых полей нем. математиком Э. Куломером. Строгое и полное обоснование теории И. для любых числовых полей было дано независимо друг от друга нем. математиком Р. Дедекиндом в 1871 и русским математиком Е. И. Золотаревым в 1877. Вскоре после возникновения теория И. была применена к изучению алгебраич. функций, что, в частности, дало возможность более строго изложить теорию алгебраич. функций и абелевых интегралов (см.), не вводя ограничений, связанных с характером особых точек алгебраич. кривых. Несколько позднее теория И. была использована для изучения алгебраич. поверхностей, что привело к созданию новой ветви алгебры — алгебраической геометрии (см.). И. соответствуют при этом алгебраич. многообразия, простым И. — неразложимые многообразия (напр., на плоскости простым И. соответствуют простые алгебраич. кривые и точки). Делимость И. в алгебраич. геометрии связана с тем, что одно многообразие является частью другого.
Новое содержание и исключительное значение теория И. получила за последние 50 лет в связи с развитием общей теории колец. Так как в произвольном кольце не выполняется, вообще говоря, коммутативный закон для умножения, то приходится несколько уточнить данное выше определение И.: в условии 2 (см. выше) требовать, чтобы в И., называемом в таком случае также двусторонним И., вместе с элементом а содержались все произведения вида аг и га, где г — любой элемент кольца; если же это требовать только для произведений вида аг, то получаемый И. называется односторонним, точнее односторонним правым. Проблематика из алгебраич. чисел перенеслась отчасти и в теорию колец. Так возник вопрос об однозначной разложимости И. в произведение простых И. Разработанная теория (т. н. мультипликативная теория И.) указывает условия, при к-рых существует это разложение; из неё, в частности, вытекают соответствующие результаты для целых алгебраич. чисел. В том случае, когда такого разложения получить не удаётся, произвольный И. часто можно представить в виде пересечения (т. е. наименьшего общего кратного) И., далее уже таким образом неразложимых (теория Э. Нётер для коммутативных колец). Нек-рое подобие однозначности сохраняется и здесь.
С двусторонними И. связано одно из основных понятий алгебры — понятие гомоморфизма (см.). С его помощью изучение произвольных колец сводится к изучению, вообще говоря, более простых колец — самого И. и кольца вычетов по нему (фактор-кольца). Односторонние И. играют и в теории колец несколько иную роль; с ними большей частью связывается представление колец в виде колец линейных преобразований, в частности в виде колец матриц (см.). С наличием или отсутствием в кольце И. (или систем И.), обладающих определёнными свойствами, связано большей частью выделение и изучение различных классов колец. Так, хорошо изучены кольца, не содержащие никаких двусторонних И. (простые кольца), кольца с условием минимальности для односторонних И. (т. е. кольца, в к-рых не может существовать бесконечной убывающей последовательности вложенных друг в друга И.), коммутативные кольца с условием максимальности для И.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630


Большая Советская Энциклопедия Второе издание