Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Введенский Б.А. Большая советская энциклопедия Том 18
 
djvu / html
 

260
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
с той же высотой, т. е. радиусом, и с основанием, равным сумме всех оснований, т. е. длине окружности. Пользуясь такого рода рассуждениями, Кеплер в «Новой стереометрии винных бочек» (1615) нашёл около сотни новых объёмов тел вращения, гл. обр. конич. сечений. Известный в астрономии закон пропорциональности площадей, описываемых радиусами-векторами планет, и времён прохождения соответствующих дуг орбит был получен Кеплером фактически с помощью приближённого (численного) интегрирования. Замечательно остроумные приёмы интеграции Кеплера не обладали, однако, строгостью (он сам отмечал это), а главное, как правило, носили характер геометрич. преобразований, для каждого случая особых и поэтому лишённых общности.
В более общей форме идеи метода неделимых были развиты учеником Галилея—итал. математиком В. Кавальери (см.) в «Геометрии, изложенной новым способом при помощи неделимых непрерывного» (1635) и «Шести геометрических упражнениях» (1647). Неделимые Кавальери являлись актуально бесконечно малыми образами с измерением на единицу низшим, чем обладающее ими в бесконечном числе непрерывное целое. Использование неделимых осуществлялось следующим образом. Если провести касательную К ограничивающей площадь выпуклой кривой («направляющую ось»), то при движении её параллельно самой себе она займёт положение всех хорд, пересекающих в том же направлении фигуру (всё это легко переносится с помощью плоских сечений на трёхмерные образы). Понятию интеграла соответствует при этом у Кавальери «совокупность всех неделимых» фигуры. Такие совокупности, хотя и бесконечно велики, но зато во многих случаях отношения их имеют вполне определённую величину; собственно говоря, Кавальери определял т. о. отношения нек-рых интегралов. Для сравнения площадей фигур, заключённых между двумя параллельными прямыми, Кавальери рассматривал отношения сумм соответствующих неделимых, проведённых в каждой из фигур на одних и тех же расстояниях друг от Рис. 3. друга. Так, в случае «криво-
линейных трапеций» приём
Кавальери сводится (в современных обозначениях) к сравнению сумм вида YI +У2 +••• + Yn и Vi + + t/2 +... +у„, где все ординаты двух кривых (см. рис. 3) Y = F(:r) jiy — f(x) берутся в точках с одними и теми же равноотстоящими абсциссами и где п — сколь угодно большое натуральное число. Вычисление отношений таких сумм при п -+ оо равносильно вычислению отношения ин-ь ъ
теграла \ F(x) dx к интегралу \ f(x) dx, причём в
а а
качестве второго из них берётся такой, значение к-рого известно. Важным результатом первой из названных работ Кавальери было введение совокупностей квадратов неделимых. Он доказал теорему: совокупность квадратов неделимых параллелограмма относится к совокупности квадратов неделимых любого из образуемых в нём диагональю треугольников, как 3 : 1. Теорема Кавальери равносильна утверждению:
>-'(*!
lim
П->00
(4Г
= lim
n-»oo
1Ч-2Ч-..
U i U
или \ x* dx '. \ a2 dx — j-. Пользуясь своей теоремой,
Кавальери дал новый вывод площади параболич. сегмента и витка спирали Архимеда (для последней он ввёл криволинейные неделимые). Во второй работе Кавальери дал аналогичные теоремы для высших степеней до девятой включительно, приложив их, в частности (п = 4), к вычислению объёма тела вращения параболич. сегмента вокруг хорды, перпендикулярной к его оси (ранее найденного Ибн-аль-Хайтамом).
Изящным примером употребления метода неделимых может служить вычисление Кавальери объёма шара. Пусть вращением различных частей фигуры (см. рис. 4) вокруг оси ОЕ образованы полушарие (АОВЯА), цилиндр (ABCD) и конус (OCD). Если рассечь эти тела , плоскостью, перпендикулярной к 0-Е в точке К, то в сечении будут круги с радиусами KG, KF. КН. Так как СК* + КО* = OGS т е. GK' + HK' = FK', то площадь кругового сечения в полушарии вместе с площадью кругового сечения в конусе равновелика площади кругового сечения в цилиндре. Отсюда следует, что сумма объёма полушария (У,) и объёма конуса (У2) равна объёму цилиндра (V3), а так
какУ2=-—У3, то У! =-=- У3 или, наконец, объём шара равен "/, объёма описанного около него цилиндра. Этот вывод приводился в геометрич. учебниках 18 и 19 вв.
Арифметшация метода неделимых. Метод неделимых Кавальери не был свободен от серьёзных недостатков. С одной стороны, он требовал больших усложнений для применения к площадям поверхностей и не мог быть непосредственно применён к измерению длин кривых. С другой стороны, задачи на квадратуры получали у Кавальери чрезвычайно громоздкое решение в связи с его нежеланием пользоваться вычислительными приёмами и символикой новой алгебры. Упрощением метода неделимых с помощью его арифметизации занялись итал. математик Э. Торричелли (см.) (1644), англ, математик Дж. Валлис (см.) в «Арифметике бесконечных» (1655) и тогда же франц. математик Б. Паскаль (см.). Паскаль попрежнему пользовался термином «сумма линий», но он отмечал уже, что под этими словами имеется в виду сумма неограниченного числа прямоугольников с высотами — ординатами кривой и с бесконечно малыми основаниями. Преобразовав совокупность неделимых в сумму бесконечно малых (это понятие Паскаль, впрочем, не уточнил) и установив в общем виде связь между квадратурами степенных функций и суммированием рядов 1* +2* +... +п* (для натуральных k), Паскаль значительно ближе подошёл к понятию интеграла. Он выполнил в связи с геометрич. и статич. задачами также ряд выкладок, соответствующих вычислению интегралов
а а а
sin x dx, \sm*xdx, [ (о2 — x*)'''dx 000
и ряда аналогичных. У него же в геометрич. форме можно найти и приём интегрирования по частям. Валлис также свёл задачи на квадратуры кривых
in\2n4- 4-mn у=хп к нахождению пределов lim ———"Г''' ^— .
m-»oo m™ i"1
к-рые он нашёл для п = 2, п = 3 по индукции, рассматривая дроби, стоящие под знаком предела, для возрастающих т, и по индукции же распространил сначала на все натуральные п, а затем на дробные и отрицательные. Ещё замечательнее было валлисово
индуктивное вычисление \ УХ — хг dx (площади по-

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610


Большая Советская Энциклопедия Второе издание