Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Введенский Б.А. Большая советская энциклопедия Том 20
 
djvu / html
 

270
КАРТОГРАФИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ
I. Общие сведения.
Изображение сети меридианов и параллелей в данной К. п. называется картографической сеткой этой проекции. Нередко проекцией называется и само изображение, в частности — карто-графич. сетка. К. п. может быть определена аналитически двумя уравнениями, напр, вида x = j1(v, ).), у=/2(ср, X), позволяющими по географич. координатам <р, X (или иным координатам) изображаемой точки вычислить прямоугольные х, у (или иные) координаты изображения этой точки. Перспективные (см. ниже) и немногие другие К. п. можно определить геометрич. построениями, связывающими изображаемую точку с её изображением непосредственно — без участия координат. Чаще К. п. определяют правилом построения соответствующей ей нормальной (см. раздел III) картографич. сетки или такими её характерными свойствами, из к-рых могут быть выведены её уравнения. Ббльшая часть К. п. симметрична относительно изображения некоторого «осевого» меридиана. При аналитич. определении проекции осевой меридиан карты обычно принимается за ось абсцисс (Ох).
Шаровую или эллипсоидальную поверхность нельзя развернуть на плоскость подобно цилиндрической или конической. Следовательно, для карты, в противоположность плану, неприменимо определение масштаба как отношения любой длины на плане к соответствующей ей длине в натуре. Численным масштабом длин или просто масштабом карты в данной точке по данному направлению называется отношение бесконечно малого расстояния, взятого около этой точки в этом направлении, к соответствующему расстоянию в натуре; он зависит не только от положения точки, но, вообще говоря, и от направления. Такой масштаб называется также частным масштабом для противопоставления единому главному масштабу карты. Главный масштаб, надписываемый на карте, равен действительному, частному масштабу лишь в нек-рых определённых местах, к-рые следует указывать в легенде; обычно он близок к среднему значению частных масштабов; на картах в равновеликих проекциях он равен корню квадратному из общего для всей карты масштаба площадей.
Отношение частного масштаба к главному называется увеличением масштаба или просто увеличением, а разность между увеличением и единицей — относительным искажением длин или просто искажением длин в данной точке по данному направлению. Увеличение можно определить и как частный масштаб при изображении в данной К. п. воображаемого глобуса, представляющего геометрически подобное изображение Земли в главном масштабе карты. Именно в этом смысле и применяется в дальнейшем слово «глобус». Отношение бесконечно малой площадки на карте к соответствующей площадке на местности называется масштабом площадей в данной точке. Отношение масштаба площадей к квадрату главного масштаба есть увеличение площадей, а его уклонение от единицы — искажение площадей в данной точке. Искажением угла называется разность между углом, образованным двумя линиями на земной поверхности, и изображением этого угла на плоскости. Величина этого искажения зависит от положения вершины угла и от направлений его сторон. Характерным свойством проекции около данной точки является наибольшее искажение (ш) угла в этой точке. Принято гово-
рить, что «проекция сохраняет длины, площади или углы» там, где искажения этих элементов равны нулю. Сохранение длин во всех точках по всем направлениям невозможно. На карте могут сохраняться везде только либо углы, либо площади. С нек-рыми видами искажений приходится мириться.
II. Теория искажений.
Искажения в бесконечно малой области около обыкновенной точки проекции, где непрерывность изображения не нарушается, подчиняются нек-рым общим простым законам. Ограничиваясь искажениями первого порядка (длин, площадей и углов, но не кривизны), можно рассматривать изображение всякой бесконечно малой фигуры как результат её аффинного преобразования (см.). Во всякой точке карты, где масштаб зависит от направления, существуют два, и только два, таких взаимно перпендикулярных направления, к-рым в натуре соответствуют также взаимно перпендикулярные направления; они называются главными направлениями. Вдоль них увеличения — наибольшее и наименьшее в данной точке. Если меридианы и параллели карты пересекаются под прямыми углами, то их направления и являются главными. Искажения длин в данной точке наглядно представляет эллипс искажений, геометрически подобный изображению бесконечно малой окружности, описанной вокруг соответствующей точки в натуре. Радиусы-векторы этого эллипса численно равны (в к.-н. условном масштабе) увеличениям в данной точке в соответственных направлениях: полуоси эллипса искажений численно равны экстремальным увеличениям, а их направления суть главные направления. В точках без искажений эллипс искажений вырождается в круг, радиус к-рого принят за единицу при измерении радиусов-векторов эллипсов искажений. Отношение площади эллипса искажений к площади этого круга равно увеличению площадей.
Основные формулы общей теории искажений:
с cos и' — a cos и, с sin и' = Ь sin и, откуда
с" = a" cos* и -\-Ь' sin* и. -г = —. cos* и' -f .-^ sin* u', с а* о
a 1/
--
tg ?7 = ctg U1 = tg «°+^ = ~ , а±Ь = Yin' + n' ± 2mn sin ф , tg 2 (3 = 2 cos ф : (™ -
tg 3' = ~ tg 3,
p = ob = mn sin ф.
Здесь а и Ь — экстремальные увеличения; с — увеличение в направлении, образующем угол и в натуре и угол и' на карте с «первым» главным направлением, увеличение по к-рому есть а; р — увеличение площадей; ш — наибольшее искажение углов; 2U — величина наиболее искажаемого угла в натуре, 21/' — то же на карте, так что ш = 2 (U — V); р — азимут первого главного направления в натуре, (У — то же на плоскости; тип — увеличения вдоль меридиана и параллели; ф — угол между меридианом и параллелью на карте.
III. Различные сетей одной и той же картографической проекции.
На поверхности шара (но не эллипсоида) возможно бесчисленное множество систем или сетей сферических координатных линий, подобных географич. меридианам и параллелям, но различающихся положением полюса. Две такие сети с полюсами /*„ и 7,й представлены на рис. 1 (см. иллюстрации на отдельном листе). Изображения всех этих сетей на плоскости в к.-н, проекции представляют бесчисленное множество картографич. сеток неодииако-

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640


Большая Советская Энциклопедия Второе издание