Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Введенский Б.А. Большая советская энциклопедия Том 20
 
djvu / html
 

450
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
интегрирование производится по всей области переменных q, в к-рой определена функция Ф.
Связь между операторами и фиаич. величинами устанавливается формулой:
(16)
где L — среднее значение величины, изображаемой оператором L, в ансамбле частиц, характеризуемых волновой функцией ф. На основании (15) легко убедиться, что среднее значение всегда действительно. Наряду с L можно ввести оператор AL = Ь — L, где L — среднее значение величины L. Тогда для среднего квадратичного отклонения величины L в состоянии Ф получим из (16)
4Z,1
I ф" (ДЬ)>
(17)
На основании (15) и (17) можно показать, что состояния без статистич. разброса величины L, т. е. состояния, в к-рых величина, изображаемая оператором L, имеет единственное значение L, определяются уравнением:
Ьфь = L-\>L. (18)
Для внутренней непротиворечивости К. м. необходимо, чтобы волновые функции Ф^ удовлетворяли условиям непрерывности, однозначности и определённым условиям интегрируемости. Решения уравнения (18), удовлетворяющие этим условиям, называются собственными функциями, а соответствующие им значения величины L — собственными значениями оператора L. Из теории этих уравнений известно, что собственные решения осуществляются не при всех мыслимых значениях параметра L. Возможны следующие случаи: a) L может принимать одно из ряда дискретных значений L — L,, L,, L,, ...; б) возможен непрерывный набор значений — оо < L < оо, или 0<Ь<оо; в) часть возможных значений L дискретна, часть непрерывна; г) существуют полосы («зоны») запрещённых и дозволенных значений величины L. Следуя терминологии теории колебаний, говорят о дискретном или непрерывном спектре собственных значений. Волновые функции дискретного спектра принято нумеровать по номеру собственного значения: /^соответствует состоянию ф . Собственные функции обладают свойством ортогональности. Именно, в случае дискретного спектра
J^m Фп<*Ч = <5тп'' Smn =J ПРИ т = «. дтп = ° ПРИ т^п- <19> Если спектр непрерывный, то:
, 4Ldq=S(L'- L);
Ф, 4Ldq=S(L'- L 5 (L1 - i) = 0, если L' -Ф L; & (L1 - L) f F (L) S (L1 -L)dL=F
(20)
оо при L' = L;
или равно нулю, смотря по тому, включает ли область интегрирования точку V = L или нет. В К. м. принимается, что величина, изображаемая оператором L, не имеет никаких других значений, кроме равных собственным значениям этого оператора. Поэтому у оператора L спектр собственных значений LI, L,, L, ... есть спектр возможных значений величины L. Выбранный в определённом порядке номер собственного значения называется квантовым числом. Если ф есть собственная функция оператора L, то в состоянии, описываемом волновой функцией ф^, величина L для микросистемы
имеет определённое значение Ln(l>L* — 0). Если две величины, изображаемые операторами L и М, имеют в состоянии Ф определённые значения L и М, то волновая функция должна удовлетворять двум уравнениям:
Ьф = ?ф; Мф - Мф. (21)
Это оказывается возможным только в том случае, когда операторы L и М коммутируют между собой, т. е. когда последовательное применение (произведение) операторов даёт результат, не зависящий от порядка их применения: Lit = ЛЬ. Если же LM ф ML, то нет таких состояний, в к-рых обе величины L и М имели бы определённые значения. Для величин L и М имеют место в этом случае соотношения типа соотношения неопределённостей, выражающие важнейшую особенность квантовых объектов. Максимальное число физич. величин, имеющих определённые значения для заданного состояния системы, равно числу степеней свободы системы /. В классич. механике система характеризуется заданием 2/ величин — обобщённых координат и импульсов. В К. м. в наиболее полно определённом состоянии половина этих величин не имеет определённых значений. К. м. позволяет вычислить вероятности для различных значений этих величин в ансамбле частиц, характеризуемом волновой функцией ф, соответствующей определённому значению нек-рой величины М. Именно, любая волновая функция ф может Сыть представлена в виде разложения по собственным функциям оператора L:
*-2*»Фп (22)
(в случае дискретного спектра И п
(в случае непрерывного спектра L). Подобные разложения называются спектральными. На основании (16) можно показать, что вероятность найти L = Ln или L между L и L + dL определяется амплитудами этих разложений:
wn = | °n I2! dwL =• \ °L |2 dL- (24>
Фактич. осуществление разложений (22) и (23) переводит исходный ансамбль с волновой функцией ф в ансамбли с волновыми функциями Фп или ф^, в к-рых величина L имеет определённые значения (L = L для состояния с ф = ф ). В связи с этим, в частности, измерительный прибор в К. м. можно трактовать как такое физич. устройство, к-рое осуществляет спектральное разложение Ф, выделяя различные спектральные компоненты (каждая компонента соответствует одному определённому значению величин L). При этом, если в исходном ансамбле величина М имела определённое значение и ML ф LM, то в новых ансамблях Фл, полученных при спектральном разложении, величина М неопределённа — можно сказать, что в состоянии Ф нет «локализации» по величине М. Поскольку в исходном состоянии ф величина L не имеет определённого значения, wn и dw^ из уравнения (24) определяют вероятность заданных значений L не в исходном ансамбле, а в новом ансамбле, полученном в результате «локализации» по L.
Зависимость состояния микрочастиц от времени. Согласно К. м., волновая функция полностью описывает состояние микрочастиц. Если волновая функция Ф (д, 0) задана в момент времени t = 0, то для ансамбля частиц, описываемых этой волновой функцией, можно найти вероятности значений любых физич. величин L при t = 0. Однако с течением времени состояние частиц может измениться как под действием внешних полей, так и в результате внутренних взаимодействий (в случае системы взаимодействующих частиц). Поэтому возникает задача — по заданному в момент t = 0 состоянию ф (q, 0) определить состояние для последующих моментов времени. Решение этой задачи в К. м. даётся уравнением:
где Н — т. н. оператор Гамильтона, совпадающий с оператором энергии в отсутствии полей, зависящих от времени. В случае потенциальных полей (25) совпадает с уравнением Шрёдингера (10). Оператор II является аналогом функции Гамильтона в классич. механике. Для случая движения, при к-ром несущественны квантовые свойства частиц, уравнение (25) переходит в уравнение Гамильтона — Якоби классич. механики (см. Динамика). Уравнение (25) выражает принцип причинной связи в К. м.: последующие состояния связаны с предшествующими однозначно, т. е. последующие состояния причинно обусловлены предшествующими. Действительно, если задано значение волновой функции ф (q,t) при t = 0 и граничные условия, то уравнение (25) позволяет определить ф (q, t) для любого последующего момента времени. Это значит, что можно статистически предсказать изменения состояний микрочастиц. Важным следствием уравнения (25) является уравнение непрерывности:
Э (ф»ф) Э(
-f div f --
(26)
где J" — вектор плотности тока вероятности. Это уравнение выражает закон сохранения частиц в К. м. В простом случае потенциальных полей вектор плотности тока вероятности имеет вид:
где у — оператор градиента.
Из (16) и (25) можно получить выражение для оператора, изображающего производную по времени величины L, именно:
(28)
1
где оператор [HL] = — (Lll — HL) называется квантовой
скобкой Пуассона. Уравнение (28) является в К. м. уравнением движения, написанным в операторной форме. Для операторов L, не зависящих явно от времени и коммутирующих
с оператором Гамильтона, -тг — 0. Это означает, что величина L сохраняется в процессе движения. В частности, если при этом д— = 0, то и -т, = 0, что выражает .закон сохранения энергии в К. м. Состояния системы с заданными значениями энергии называются стационарными. Спектр энер-

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640


Большая Советская Энциклопедия Второе издание