Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Введенский Б.А. Большая советская энциклопедия Том 25
 
djvu / html
 

320
ЛОБАЧЕВСКОГО ГЕОМЕТРИЯ— ЛОБАЧЕВСКОГО МЕТОД
10) Чем меньше область в пространстве или на плоскости Лобачевского, тем меньше геометрич. соотношения в этой области отличаются от соотношений эвклидовой геометрии. Можно сказать, что в бесконечно малой области имеет место эвклидова геометрия. Напр., чем меньше треугольник, тем меньше сумма его углов отличается от л, чем меньше окружность, тем меньше отношение её длины к радиусу отличается от 2я, и т. п Так как уменьшение области формально равносильно увеличению единицы длины, т. е. уменьшению постоянной k, то оказывается, что формулы Л. г. переходят в формулы эвклидовой геометрии при ft -» 0. Эвклидова геометрия есть в этом смысле «предельный» случай Л. г.
Таковы нек»рые основные факты Л. г., открытые самим Лобачевским. Их парадоксальность с точки зрения обычного понимания геометрии (а не с точки зрения модели) делает понятным то мужество, к-рое имел Лобачевский, выступая со своими результатами и борясь за свои идеи всю жизнь.
В настоящее время Л. г. продолжает разрабатываться многими геометрами; в ней изучаются решение задач на построение, многогранники, правильные системы фигур, общая теория кривых и поверхностей и т. п. (работы советских математиков В. Ф. Кагана, П. А. Широкова, Н. М. Несторовича, Д. Д. Мордухай-Болтовского, А. Д. Александрова и др.). Ряд геометров развивал также механику в пространстве Лобачевского. Эти исследования не нашли непосредственных применений в механике, но дали начало плодотворным геометрич. идеям (напр., работы русского математика А. П. Котельникова и немецкого математика Э. Штуди по линейчатой геометрии). Таким образом, Л. г. является обширной областью исследования, подобно геометрии Эвклида.
Приложения геометрии Лобачевского. Сам Лобачевский применил свою геометрию к вычислению определённых интегралов. В теории функций комплексного переменного Л. г. помогла построить теорию аетоморфных функций (см.). Связь с Л. г. была здесь отправным пунктом исследований Пуанкаре, к-рый писал, что «неэвклидова геометрия есть ключ к решению всей задачи». Л. г. находит применение также в теории чисел, в её геометрич. методах, объединяемых под названием «геометрии чисел» (см. Чисел теория) (напр., в работах советского математика Б. А. Венкова). Была установлена тесная связь Л. г. с кинематикой частной теории относительности (см. Относительности теория). Эта связь основана на том, что равенство, выражающее закон распространения света
*2 + 2/2+22 — с2 г2 =0, при делении на г2, т. е. для скоростей, даёт
— уравнение сферы в пространстве с координатами vx> vy> vz (B «пространстве скоростей»). Преобразования Лоренца (см. Лоренца преобразования) сохраняют эту сферу и, т. к. они линейны, переводят прямые пространства скоростей в прямые. Следовательно, согласно модели Клейна, в пространстве скоростей внутри сферы радиуса с, то есть для скоростей, меньших скорости света (к-рые, согласно теории относительности, только и возможны), имеет место Л. г. Так, например, сложение скоростей в теории относительности получает истолкование как сложение отрезков в Л. г.
Значение геометрии Лобачевского. Как уже было сказано в начале статьи, главное значение Л. г. состоит в том, что она явилась первой геометрич. теорией, отличной от эвклидовой геометрии. Её создание открыло новую эпоху в геометрии и в математике вообще. Поэтому Лобачевский был назван «Коперником геометрии». Создание Л. г. показало, что логически возможна не одна эвклидова геометрия и что путём изменения и обобщения основ эвклидовой геометрии можно строить другие теории, логически совершенные и богатые содержанием. Вслед за Л. г. последовали поэтому другие неэвклидовы геометрии, были выяснены общие принципы построения геометрич. теорий и их реального обоснования.
Многие из этих геометрич. теорий получили весьма существенные применения в естествознании. Геометрия вышла за границы изучения свойств пространства, выраженных в понятиях эвклидовой геометрии; сложилось общее понятие о пространстве в математике, геометрия стала наукой о разного рода «пространствах», то есть о формах действительности, сходных с обычным пространством. В результате существенно расширилась роль геометрии в познании природы (см. Геометрия, разделы Обобщение предмета геометрии и Развитие геометрии). Сам Лобачевский совершенно определённо указал на то, что нет оснований считать эвклидову геометрию абсолютно точным отражением свойств пространства и что соответствие геометрии действительности должно проверяться на опыте. Эта идея полностью подтвердилась в общей теории относительности, со- < гласно к-рой пространство не эвклидово, но имеет геометрию более сложную, чем Л. г. Математич. аппаратом теории относительности служит абстрактная риманова геометрия, одним из источников к-рой была Л. г. Таким образом, Лобачевский проложил путь для важнейших достижений физики. Он дал материалистич. понимание геометрии как теории, не только возникающей из опыта, но и требующей проверки на опыте. Он опроверг кантианское представление об априорности геометрии. Наконец, аксиома Лобачевского уже не была «очевидной истиной», а гипотезой; этим было положено начало новому развитию аксиоматич. метода в математике вообще, позволяющего строить новые теории в целях дальнейшего познания природы. Построение Л. г. дало, в частности, также доказательство независимости аксиомы о параллельных от остальных аксиом и тем послужило началом логич. анализа оснований геометрии и систем аксиом вообще. Л. г. есть одно из величайших достижений творческого абстрактного мышления.
Лит.: Лобачевский Н. И., Полное собрание сочинений, т. 1—3 — Сочинения по геометрии, М.—Л., 1946— 1951; Боль а и Я., Appendix. Приложение, содержащее науку о пространстве, абсолютно истинную, не зависящую от истинности или ложности XI аксиомы Евклида (что a priori никогда решено быть не может) с прибавлением, к случаю ложности, геометрической квадратуры круга, пер. с патин., М.—Л., 1950; Александров П. С., Что такое неэвклидова геометрия, М., 1950; Н о р д е н А. П., Элементарное введение в геометрию Лобачевского, М., 1953; Каган В. Ф., Основания геометрии, ч. 1—Геометрия Лобачевского и ее предистория, М.—Л., 1949; Широков П. А. и К а г а н В. Ф., Строение неевклидовой геометрии, М.—Л., 1950 (Геометрия Лобачевского и развитие ее идей, т. 1); К о т е л ь н и к о в А. П. и Ф о к В. А., Некоторые применения идей Лобачевского в механике и физике, М.—Л.,
1950 (та же серия, т. 2); С м о г о р ж е в с к и и А. С., Геометрические построения в плоскости Лобачевского, М.—Л.,
1951 (та же серия, т. 3); Б у к р е е в Б. Я., Планиметрия Лобачевского в аналитическом изложении, М.—Л., 1951 (та же серия, т. 4); Ф у к с Б. А., Неевклидова геометрия и теория конформных и псевдоконформных отображений,М.—Л., 1951 (та же серия, т. 5); А д а м а р Ш., Неевклидова геометрия в теории автоморфных функций, пер. с франц., М.—Л., 1951 (та же серия, т. 6); Г е р а с и м о в а В. М., Указатель литературы по геометрии Лобачевского и развитию ее идей, М., 1952 (та же серия, т. 7).
ЛОБАЧЕВСКОГО МЕТОД — метод численного (приближённого) решения алгебраич. уравнений, найденный последовательно и независимо друг от друга бельгийским математиком Ж. Данделеном, русским математиком Н. И. Лобачевским и швейцарским математиком К. Греффе и изложенный в наиболее разработанной и совершенной форме в сочинении Н. И. Лобачевского «Алгебра или вычисление конечных» (1834). Л. м. является одним из самых удобных методов приближённого решения алгебраич. уравнений, особенно в тех случаях, когда надо найти не только действительные, но и комплекс-

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630


Большая Советская Энциклопедия Второе издание