Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Введенский Б.А. Большая советская энциклопедия Том 25
 
djvu / html
 

340
ЛОГИКА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
построенных выражений рядом друг за другом со включением одного из знаков &, V или э между ними и с заключением всего в скобки. Следующие выражения являются, напр., формулами:
1. (А=> (ВЭ А)),
2. ((А Э (В Э С)) Э ((A D В) Э (А Э С))),
3. ((А & В)Э А),
4. ((А & В)Э В),
5. (АЭ (ВО (А&В))),
6. ((А Э С) D ((В Э С) Э ((AVB) Э С))),
7. (A3 (AVB)),
8. (ВЭ (AVB)),
9. (]А Э (А Э В)),
10. ((А Э В) Э ((А Э 1В) Э 1А)),
11. (AV1A).
В обоих исчислениях высказываний — классическом и конструктивном, употребляются одни и те же правила вывода, а именно:
Правило подстановки. Из формулы выводится новая формула путём подстановки всюду вместо к.-л. логич. переменной произвольной формулы.
Пр авило вывода заключений. Из формул И и (Я э 5>) выводится формула S3.
Эти правила отражают обычные способы рассуждений: переход от общего к частному и вывод следствий из доказанных посылок.
Различие между двумя исчислениями высказываний проявляется в наборах их аксиом. В то время как в классич. исчислении высказываний в качестве аксиом принимаются вое формулы!—11, в конструктивном исчислении высказываний лишь первые десять из этих формул принимаются в качестве аксиом. Одиннадцатая формула, выражающая закон исключённого третьего (см. ниже), оказывается не выводимой в конструктивном исчислении. Чтобы получить представление о выводе формул в исчислениях высказываний, выведем в конструктивном исчислении формулу ](А &] А), выражающую закон противоречия.
Применим правило подстановки к аксиомам 3 и 4, подставляя в них формулу 1А вместо переменной В. Это даёт формулы
((А&1А)ЭА). (1)
((А &1А)Э 1А). (2)
Подставляя затем в аксиому 10 формулу (А&]А) вместо А, получим
(((А & 1А) Э В) Э (((А & 1А) Э 1В) Э 1 (А &1А))).
(3)
Подставляя далее в формулу (3) формулу А вместо переменной В, получим
(((А &1А)Э А)Э (((А &1 А)Э 1А) Э 1(А &1А))). (4)
Применяя к формулам (1) и (4) правило вывода заключений, получим
(((А&1А)Э 1А)Э 1 (А&1А)). (5)
Применяя, наконец, правило вывода заключений к формулам (2) и (5), получим формулу 1(А&]А), к-рая, таким образом, выводима в конструктивном исчислении высказываний.
Формальное различие двух исчислений высказываний отражает глубокое различие в их истолкованиях, различие, касающееся смысла логич. переменных, т. е. самого понимания термина «высказывание». При общепринятом истолковании классич. исчисления высказываний этот термин понимается, примерно, как «суждение» в смысле Аристотеля (см. Суждение). Предполагается, что высказывание непременно истинно или ложно. Подстановка произвольных высказываний, т. е. суждений, вместо логич. переменных в формулу даёт нек-рую логич. комбинацию этих суждении, рассматриваемую также как суждение. Истинность или ложность этого суждения определяется исключительно истинностью или ложностью суждений, подставляемых вместо логич.переменных, согласно следующим определениям смысла логич. связок.
Суждение вида (P&Q), называемое конъюнкцией суждений Р и Q, есть суждение истинное, когда истинны оба эти суждения, и ложное, когда ложно хотя бы одно из них. Суждение вида (Р V Q), называемое дизъюнкцией суждений Р и Q, есть суждение истинное, когда истинно хотя бы одно из этих суждений, и ложное, когда ложны оба. Суждение вида (Р э Q), называемое импликацией суждений Р и О. есть суждение ложное, когда истинно Р и ложно Q, и истинное во всех остальных случаях. Суждение
вида IP, называемое отрицанием суждения Р, есть суждение истинное, когда Р ложно, и ложное, когда Р истинно.
Необходимо отметить, что, согласно данному выше определению , импликация не вполне совпадает по смыслу с житейским словоупотреблением связки «если..., то...». Однако в математике эта связка издавна применялась именно в смысле этого определения импликации. Доказывая теорему вида «если Р, то Q», где Р и Q суть нек-рые математич. суждения, математик делает предположение об истинности Р и тогда доказывает истинность Q. Он продолжает считать теорему верной, если впоследствии будет доказана ложность Р или истинность Q будет доказана и без предположения об истинности Р. Опровергнутой он считает эту теорему лишь тогда, когда установлена истинность Р и вместе с тем ложность Q. Всё это вполне согласуется с определением импликации (Р Э Q).
Необходимо также подчеркнуть принятое в Л. м. н е и с-клю чающее понимание дизъюнкции: дизъюнкция (Р VQ), по определению, истинна и в том случае, когда истинны оба суждения Р и Q.
Формула SI называется классически общезначимой, если истинно всякое суждение, получаемое из 81 в результате подстановок любых суждений вместо логич. переменных. Классически общезначимой является, напр., формула 11. Её общезначимость есть не что иное, как закон исключённого третьего в следующей форме: «если одно из двух суждений есть отрицание другого, то хотя бы одно из них верно». Этот закон выражает основное свойство суждений: быть истинными или ложными. Обычную формулировку закона, включающую и закон противоречия, см. в статье Исключённого третьего закон.
Нетрудно проверить, что и все аксиомы 1—10 классически общезначимы и что оба правила вывода в применении к классически общезначимым формулам дают лишь классически общезначимые формулы. Отсюда следует, что все выводимые формулы классич. исчисления высказываний классически общезначимы. Обратное, как оказывается, также имеет место: всякая классически общезначимая формула выводима в классич. исчислении высказываний, в чём состоит полнота этого исчисления.
Совсем иная трактовка логич. переменных лежит в основе современного истолкования конструктивного исчисления высказываний, истолкования, данного в 1932 А. Н. Колмогоровым и связанного с конструктивной уставов к о и в математике. Согласно этой установке, математич. утверждения связываются с решением конструктивных задач: доказательство математич. утверждения означает решение сопоставленной ему конструктивной задачи. Напр., всякая арифметич. теорема существования числа с таким-то свойством связывается с построением числа с этим свойством. Теорема лишь тогда считается доказанной, когда это построение указывается.
Соответственно этому логич. переменные трактуются Колмогоровым как подлежащие рассмотрению математич. задачи. Конъюнкция (P&Q) двух задач Р и Q определяется им как задача: «решить обе задачи Р и Q»; их д и а ъ-юнкция (PVQ) — как задача: «решить хотя бы одну из задач Р и Q»; их импликация (Р 13 Q) — как задача: «решить задачу Q в предположении, что задача Р решена». Точнее говоря, импликация (Р Э Q) определяется как задача указания общего метода, позволяющего находить решение задачи Q, коль скоро дано решение задачи Р. Отрицание IP задачи Р определяется Колмогоровым как задача: «доказать невозможность решения задачи Р путём приведения к нелепости предположения о том, что она решена».
Соответственно этим определениям, (Р vl P) есть задача: «решить задачу Р или доказать её неразрешимость».
Несколько расплывчатый термин «общий метод», содержащийся в определении импликации задач, был впоследствии уточнён в понятиях рекурсивной функции (Эрбран, Ге'дель) и нормального алгорифма (А. А. Марков), что сообщило истолкованию конструктивного исчисления высказываний надлежащую чёткость. Выработка этих понятий и разработка связанного с ними математич. аппарата, широко используемого в Л. м., характерны для современного этапа её развития.
Подставляя вместо переменных, входящих в формулу а. задачи, получаем новую задачу. Мы говорим, что формула Я конструктивно общезначима, если всякая задача, получаемая таким образом из а, разрешима, точнее говоря, если имеется обший метод (в уточнённом смысле) нахождения решения такой задачи, коль скоро формулированы задачи, подставляемые в и вместо переменных. Понятие конструктивной общезначимости оказывается существенно более узким, чем понятие классич. общезначимости. Напр., классически общезначимая формула 11, выражающая в классич. исчислении высказываний закон исключённого третьего (см. выше), не является конструктивно общезначимой, так как даже в арифметике невозможен общий метод, позволяющий решать всякую задачу вида (PV1P), т. е. решающий арифметич. задачу Р или выясняющий её неразрешимость. Что такой общий метод (в современном уточнённом понима-

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630


Большая Советская Энциклопедия Второе издание