Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Введенский Б.А. Большая советская энциклопедия Том 28
 
djvu / html
 

МНОГОУГОЛЬНИК СИЛ —МНОГОУГОЛЬНИКИ
9
или неожиданной репликой собеседника, напр.: «Ва-ва-ва... шество, превосходительство, не прикажете ли отдохнуть...» (Н. В. Г о г о л ь). «Батюшка, Петр Андреич! — кричал дядька. — Не покинь меня на старости лет посреди этих ношен...» (А. С. П у m к и н). М. ставится в цитатах: а) для обозначения того, что цитируемый текст является только частью фразы (без её начала или конца); б) для обозначения пропуска текста внутри цитаты.
МНОГОУГОЛЬНИК СИЛ — ломаная линия, звенья к-рой последовательно равны векторам, изображающим силы данной системы. Вектор, соединяющий начальную и конечную точки М. с., называется главным вектором данной системы сил. Если силы приложены к одному твёрдому телу и линии их действия пересекаются в одной точке, то для уравновешивания такой системы сил необходимо и достаточно, чтобы её М. с. был замкнут. Если линии действия сил, приложенных к одному твёрдому телу, не пересекаются в одной точке, а М. с., изображающий эту систему сил, замкнут, то система сил приводится к одной паре сил (см.). Понятие М. с. особенно важно при графич. исследовании системы сил, приложенных к одному твёрдому телу и расположенных в одной плоскости. См. Верёвочный многоугольник.
МНОГОУГОЛЬНИКИ — замкнутые ломаные линии. Подробнее, М.— линия, к-рая получается, если взять п любых точек А-\, Аъ, ..., Ап и соединить прямолинейным отрезком каждую иг* них с последующей, а последнюю — с первой (см.рис. 1, а, б).
Рис. 1. «
Точки AI, А%,..., Ап называют вершинами М., а отрезки А^А^, А2А3.....Ап_1Ап, АпАг — его сторона м и. Далее рассматриваются только плоские М. (т. е. предполагается, что М. лежит в одной плоскости). М. может сам себя пересекать (см. рис. 1,в), причём точки самопересечения могут не быть его вершинами.
Существуют и другие точки зрения на то, что считать М. Многоугольником можно называть связную часть плоскости, вся граница к-рой состоит из конечного числа прямолинейных отрезков, называемых сторонами многоугольника. М, в этом смысле может быть и многосвязной частью плоскости (см. рис. 1,г), т. е. такой М, может иметь «многоугольные дыры». Рассматриваются также бесконечные М.— части плоскости, ограниченные конечным числом прямолинейных отрезков и конечным числом полупрямых.
Дальнейшее изложение опирается на данное выше первое определение М.
Если М. не пересекает сам себя (см., напр., рис. 1, а и 1, б), то он разделяет совокупность всех точек плоскости, на нём не лежащих, на две части — конечную (внутреннюю) и бесконечную (внешнюю), в том смысле, что если точки А и В принадлежат одной из этих частей, то их можно соединить друг с другом ломаной, не пересекающей М., а если разным частям, то нельзя. Несмотря на совершенную очевидность этого обстоятельства, строгий его вывод из аксиом геометрии довольно труден (т. н. теорема Жор-дана для М.). Внутренняя но отношению к М. часть плоскости имеет определённую площадь. Если М.— самопересекающийся, то он разрезает плоскость на определённое число
2 Б. С. Э. т. 28.
кусков, из к-рых один бесконечный (называемый внешним по отношению к М.), а остальные конечные односвязные (называемые внутренними), причём граница каждого из них есть нек-рый самонепересекающийся М., стороны к-рого суть целые стороны или части сторон, а вершины — вершины или точки самопересечения данного М. Если каждой стороне М. приписать направление, т. е. указать, какую из двух определяющих её вершин мы будем считать её началом, а какую — концом, и притом так, чтобы начало каждой стороны было концом предыдущей, то получится (замкнутый) многоугольный путь, или ориентированный М. Площадь области, ограниченной самонепересекающимся ориентированным М., считается положительной, если контур М. обходит эту область против часовой стрелки, т. е. внутренность М. остаётся слева от идущего по этому пути, и отрицательной — в противоположном случае. Пусть М.— самопересекающийся и ориентированный; если из точки О, лежащей во внешней по отношению к нему части плоскости, провести прямолинейный отрезок к точке, лежащей внутри одного из внутренних его кусков, и М. пересекает этот отрезок р раз слева направо и q раз справа налево, то число р — q (целое положительное, отрицательное или нуль) не зависит от вы-Вора внешней точки О и называется коэфициептом этого куска. Сумма обычных площадей этих кусков, помноженных на их коэфициенты, считается «площадью» рассматриваемого замкнутого пути (ориентированного М.). Так определяемая «площадь замкнутого пути» играет большую роль в теории математич. приборов (планиметр и др.); она
получается там обычно в виде интеграла
пых координатах о,ш) или
ф ydx
(в поляр-
(в декартовых координатах
х, гу),где конец радиуса-вектора р или ординаты у один раз обегает этот путь.
Сумма внутренних углов любого самонепересекающегося М. с п сторонами равна (п—2) 180°. М. называют выпуклым (см. рис. 1,а), если никакая сторона М., будучи неограниченно продолженной, не разрезает М. на две части. Выпуклый М. можно охарактеризовать также следующим свойством: прямолинейный отрезок, соединяющий любые две точки плоскости, лежащие внутри М., не пересекает М. Всякий выпуклый М.— самонепересекающийся, но не наоборот. Напр., на рис. 1, б изображён самопепересекающийся М., к-рый не является выпуклым, т. к. отрезок PQ, соединяющий нек-рыо его внутренние точки, пересекает М.
Важнейшие М.: треугольники, в частности прямоугольные, равнобедренные, равносторонние (правильные); четырёхугольники, в частности трапеции, параллелограммы, ромбы, прямоугольники, квадраты. Выпуклый М. называют п р а в и л ь-н ы м, если все его стороны равны и все внутренние углы равны. В древности умели по стороне или радиусу описанного круга строить циркулем и линейкой правильные М. только в том случае, если число сторон М. равно т = 3-2", 4-2й, 5.2", 3-5-2", где п — любое целое положительное число или нуль. Нем. математик К. Гаусс в 1801 показал, что можно построить циркулем и линейкой правильный М., когда число его сторон имеет вид: т= 2п-р1-рг-...- pie, где plt р-2, ..., рк — различные гауссовы простые числа, т. е. простые числа вида
р = 22S+1 (s — целое положительное число). До сих пор известны только пять таких р: 3, 5, 17, 257, в5337. Из теории Галуа (см. Галуа теория) следует, что никаких других правильных М., кроме указанных Гауссом, построить циркулем и линейкой нельзя. Таким образом, построение возможно при т = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15,16, 17, 20, 24, 32, 34, ... и невозможно при m = 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33,...
В приведённой ниже таблице указаны радиус описанного круга, радиус вписанного круга и площадь правильного л-уголышка (для л = 3, 4, 5, 6, 8, 10), сторона к-рого равна k.
.J

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660


Большая Советская Энциклопедия Второе издание