Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Введенский Б.А. Большая советская энциклопедия Том 29
 
djvu / html
 

310
«НАЧАЛА» ЭВКЛИДА
«Н.» Э. составлены по определённой схеме, сложившейся еще до Эвклида и кратко изложенной в сочинениях Аристотеля: сначала приводятся определения, постулаты и аксиомы, затем формулировки теорем и их доказательства.
Помимо теорем, в «Н.» Э. имеются и проблемы, решаемые построением или с помощью арифметич. алгоритмов. Вслед за определением основных геомет-рич. понятий и объектов Эвклид доказывает существование остальных объектов геометрии (напр., равностороннего треугольника) путём их построения, к-рое выполняется на основании пяти постулатов. В постулатах утверждается возможность выполнения следующих элементарных построений: 1) через две точки можно провести прямую; 2) отрезок прямой можно неограниченно продолжить; 3) данным радиусом из данной точки можно провести окружность; 4) все прямые углы равны между собой (этим обеспечивается единственность продолжения прямой); 5) если две прямые, лежащие в одной плоскости, пересечены третьей и если сумма внутренних односторонних углов меньше двух прямых, то прямые пересекутся при неограниченном их продолжении с той стороны, с к-рой эта сумма меньше. Выбор этих постулатов весьма удачен. Все они (кроме IV постулата, к-рый заменяется требованием, чтобы через две точки проходила единственная прямая) вошли в качестве аксиом в современные курсы оснований геометрии. Особенно интересна судьба V постулата. Еще в древности математики пытались его доказать. Аналогичные попытки продолжались вплоть до работ русского математика Н. И. Лобачевского (см. Лобачевского геометрия), построившего первую систему неэвклидовой геометрии, в к-рой этот постулат не имеет места. За постулатами в «Н.» Э. приводятся аксиомы — предложения о свойствах отношений равенства и неравенства между величинами: 1) равные одному и тому же равны между собой, 2) если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны, 3) если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны, 4) совмещающиеся друг с другом равны между собой, 5) целое больше части (в нек-рых списках «Н.» Э. к этому добавляют ещё четыре аксиомы).
С современной точки зрения система аксиом и постулатов «Н.» Э. недостаточна для дедуктивного построения геометрии. Так, здесь нет ни аксиом движения, ни аксиом конгруэнтности (за исключением 4-й аксиомы), а без этого невозможно доказать основные теоремы о равновеликости фигур. На самом же деле Эвклид при доказательствах пользовался движением, не оговаривая возможности этого в аксиомах. Отсутствуют в «Н.» д. и аксиомы расположения. Из аксиом, характеризующих непрерывность, представлена только т. н. аксиома Архимеда (см. Архимеда аксиома). Она приводится перед книгой V и нужна была Эвклиду для построения общего учения об отношениях. С современной точки зрения можно найти и другие логич. недостатки в «Н.» Э. Однако на протяжении более 2 тысяч лет «Н.» Э. служили недосягаемым образцом математич. строгости. До 18 в. включительно «Н.» Э. или их сокращённые и переработанные варианты служили основными пособиями по геометрии. Новый подход к обоснованиям математики наметился только после работ Н. И. Лобачевского, причём полная аксиоматика геометрии Эвклида была построена лишь в конце 19 в.
«Н.» Э. состоят из тринадцати книг (отделов или частей). В книге I рассматриваются основные свойства треугольников, прямоугольников, параллелограммов и производится сравнение их площадей.
Заканчивается книга теоремой Пифагора (см. Пифагора теорема). В книге II излагается т. н. геомет-рич. алгебра, т. е. строится геометрич. аппарат для решения задач, сводящихся к квадратным уравнениям. При этом величины изображаются отрезками, а произведения двух величин — площадями. Алгеб-раич. символика в «Н.» Э. отсутствует. В книге III рассматриваются свойства круга, его касательных и хорд (эти проблемы были исследованы Гиппократом Хиосским во 2-й половине 5 в. до н. э.), в книге IV — правильные многоугольники. В книге V даётся общая теория отношений величин, созданная Евдоксом Книдским (см.); она отличается особенной логич. завершённостью и, в основном, эквивалентна теории дедекиндовых сечений (см.), являющейся одним из обоснований учения о действительных числах. Общая теория отношений является основой учения о подобии (книга VI) и метода исчерпывания (книга XII), также восходящих к Евдоксу. В книгах VII—IX изложены начала теории чисел, основанные на алгоритме нахождения наибольшего общего делителя (см. Алгоритм Эвклида). В эти книги входит теория делимости, включая теоремы об однозначности разложения целого числа на простые множители и бесконечности числа простых чисел, а также строится учение об отношении целых чисел, эквивалентное, по существу, теории рациональных чисел. В книге X на этой основе даётся классификация квадратичных и биквадратичных иррациональ-ностей и обосновываются нек-рые правила их преобразования. Результаты книги X применяются в книге XIII для определения рёбер пяти правильных многогранников. Значительная часть книг X и XIII (а вероятно, и VII) принадлежит Теэтету (начало 4 в. до н. э.). В книге XI излагаются начала стереометрии. В книге XII определяются с помощью метода исчерпывания отношение площадей двух кругов и отношение объёмов пирамиды и призмы, конуса и цилиндра. Эти теоремы были впервые доказаны Евдоксом. Наконец, в книге XIII определяется отношение объёмов двух шаров, строятся пять правильных многогранников и доказывается, что иных правильных тел не существует. Последующими греческими математиками к «Н.» Э. были присоединены книги XIV и XV, не принадлежащие Эвклиду. Они часто и теперь издаются совместно с основным текстом «Н.» Э. Содержание их не представляет большого научного интереса.
«Н.» Э. получили широкую известность уже в древности. Архимед, Аполлоний Пергский и другие учёные опирались на них при своих исследованиях в области математики и механики. В конце 8 в.— начале 9 в. появляются переводы «Н.» Э. на арабский язык. Первый перевод на латинский язык был сделан с арабского Ателхардом Батским в 1-й четверти 12 в. Старинные списки«Н.» Э. отличаются существенными разночтениями; подлинный текст их точно не восстановлен. Первое печатное издание «Н.» Э. в переводе Кампана на латинский язык появилось в 1482 с чертежами на полях книги. Наилучшим в настоящее время считается издание И. Гейберга (5 тт., 1883—88), в к-ром приводится как греческий текст, так и его латинский перевод. На русском языке имеются следующие переводы: И. Астарова — «Евклидовы елементы», сокращённые проф. А. Фархварсоном (8 кн., 1739, пер. с лат.), Н. Курганова — «Евклидовы елементы геометрии» (8 кн., 1769, пер. с франц.), П. Суворова и В. Никитина — «Евклидовы стихии» (осьм книг, 1—6, 11, 12, 1784, пер. сгреч.), Ф. Петрущевского — «Эвклидовых начал восемь книг, а именно: первые

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630


Большая Советская Энциклопедия Второе издание