Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Введенский Б.А. Большая советская энциклопедия Том 29
 
djvu / html
 

60
НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ СПОСОБ
При нек-рых общих предположениях можно показать, что распределение разности х—у для достаточно большого числа измерений п мало отличается от нормального^ распределения с математич. ожиданием 0 и дисперсией ОУ. Погрешность приближённого равенства х ~ у с вероятностью
и 2 :' _/2/9
... — --------- \ 0 1 <""Л4
меньше и у ру (напр., значению ш=0,95 соответствует и=1,96).
Если про дисперсии а\ известно только, что они имеют вид
2 *
где веса р{ заданы, а множитель k до наблюдений остаётся неопределённым, то на основании наблюдений этот множитель может быть приближённо оценён по формуле _
k ~ S(V)
что даёт для Dy оценку
SQ/) (п-\)Р •
Если, кроме того, случайные ошибки S^ подчиняются нормальному распределению, то при любом
п > 1 величина ^~ подчиняется распределению
Стьюдента (см. Стьюдента критерий) с п—1 степенями свободы. Поэтому с заданной вероятностью «о будет выполняться неравенство
у — ts < х < у + is,
где t — решение уравнения ^ ш = S (t, n — 1), в
правой части к-poro стоит функция распределения Стьюдента. Таблицы зависимости г от со и п имеются во многих руководствах по теории вероятностей.
Пусть, напр., для определения массы нек-poro тела произведено 10 независимых взвешиваний, давших результаты Vi (в граммах):
у; 18,41 18,42 18,43 | 18,44 (8,45 18,46
П1 1 3 3 1 1 1
[Здесь п — число случаев, в к-рьтх наблюдалась масса у-, (п = ?п = 10)]. Если все взвешивания — равноточные, то полагают р; = п и, в качестве оценки для неизвестной массы х, берут величину
i " 18,431.
Залавая, напр., ш = 0,95, из таблиц распределения Стьюдента с девятью степенями свободы находят ( = 2,262. Отсюда следует, что с вероятностью 0,95 истинная масса х заключена в пределах
18,431— ts У;-у)г = 0,005,
поэтому с указанной вероятностью
18,42<х< 18,44.
Случай нескольких неизвестных (линейные связи). Пусть п измеренных величин i/j, 2/2.....Уп связаны с т неизвестными
величинами tfj, ж2,..., хт (т<и) независимыми линейными соотношениями
т У г = 2а*Л+г*' '=1, 2, .... я, (*)
где aij — известные коэфициенты, a 3$ — независимые случайные ошибки измерений, к-рые обычно бывают неизвестны. Требуется оценить неизвестные величины xj (разобранный выше случай соответствует т=а/=1).
Подобного рода задачи часто встречаются в астрономии, напр, при определении орбит небесных светил. При практич. вычислениях обычно ошибки ?; не записывают и вместо системы (*) пишу г систему т. н. условных уравнений
[естественно, что эти уравнения, вообще говоря, несовместны и являются, по существу, условной записью уравнений (*)].
Согласно Н. к. с., в качестве оценок для неизвестных xj принимают такие величины Xj, для к-рых сумма квадратов
n m
S (Xlt X,.....Хт) = 2 р (у - ^ Ч&У
i= I J=I
будет наименьшей. Отсюда следует, что Xj должны удовлетворять т. н. нормальным уравнениям
где
,., [pyak] =2ft2/«a«v Веса вели-i^l i=l
чин Xj равны ?—, где Д — определитель (см.) си-
а
стемы нормальных уравнений, а Д_,у— минор (см.), соответствующий элементу [pajuj].
Следует отметить, что для решения системы нормальных уравнений разработан удобный метод (т. н. алгоритм Гаусса), позволяющий одновременно с отысканием неизвестных Xj находить их веса. Этот метод излагается во всех руководствах по Н. к. с.
Дисперсии DXj величин Xj равны ——, где k есть
множитель пропорциональности в соотношениях оя = — , связывающих дисперсии а| величин 8< с
весами p^. Если множитель k заранее неизвестен, то для его оценки по результатам наблюдений служит формула
k ~ k* = —5—-
что даёт для
оценку
DJT,-
= k*
Если случайные ошибки имеют нормальное распре-
деление, то величина
распределена по за-
кону Стьюдента с п—m степенями свободы; в этом случае оценка погрешности приближённого равенства Xj~Xj производится так же, как и в случае одного неизвестного.
Напр., пусть после измерений величин У; получена система условных уравнений
yi = a;lxl +а ъХ2, i=l, 2, ... , 10, (n=10, m=2), где г/j, aj, и а , заданы следующей таблицей:

 

1 10 20 30 40 50 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630


Большая Советская Энциклопедия Второе издание