Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Введенский Б.А. Большая советская энциклопедия Том 31
 
djvu / html
 

230
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ — ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
Лит.: Геронимус Я. Л., Теория ортогональных многочленов. Обзор достижений отечественной математики, М.—Л., 1950; Натансон И. П., Конструктивная теория функций, М.—Л., 1949; Джексон Д., Ряды Фурье и ортогональные полиномы, пер. с англ., М., 1948; Sz eg u G., Orthogonal polynomials, N.-Y., 1939.
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ— линейные преобразования эвклидова векторного пространства, сохраняющие неизменным длины или (что эквивалентно этому) скалярное произведение Викторов. В ортогональном и нормированном базисе О. п. соответствует ортогональная матрица (см.). О. п. образуют группу (см.) — т. н. группу вращении данного эвклидова пространства вокруг начала координат. В трёхмерном пространстве О. п. сводится к повороту на нек-рый угол вокруг нек-рой оси, проходящей через начало координат О, если определитель соответствующей ортогональной матрицы равен +1. Если же этот определитель равен —1, то поворот дополняется зеркальным отражением относительно плоскости, проходящей через О. В двумерном пространстве, т. е. в плоскости, О. п. определяет поворот на нек-рый угол вокруг начала координат О или зеркальное отражение относительно нек-рой прямой, проходящей через О. О. п. используется при приведении к главным осям квадратичной формы (см.). См. также Матрицы, Линейные преобразования, Векторные пространства.
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ТРАЕКТбРИИ — кривые, пересекающие под прямым углом (ортогонально) каждую из линий или каждую из поверхностей данного семейства. Напр., на плоскости семейство (пучок) всех прямых, проходящих через точку S, имеет своими О. т. концентрич. окружности с центром в S. О. т. являются частным случаем изогональных траекторий (см.).
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ — функции, образующие ортогональную систему (см. ниже). Многие задачи теории интегральных уравнений, уравнений математич. физики, приближения функций и т. д. приводят к рассмотрению таких систем функций \уп(х)\, п= 1,2,..., заданных на нек-ром отрезке [а, Ь], что любые две различные функции этих систем ортогональны на отрезке [а, Ь], с нек-рым весом р(х)^0 (см. Ортогональность). Такие системы и называют ортогональными системами функций (О. с. ф.). Примером О. с. ф. может служить тригонометрич. система функций
1, cosnx, sm nx
Если каждая функция из О. с. ф. такова, что ь
Г |<р„ (ж)]2 р (х) dx s= Nn = 1 (условие нормированно-а
сти), то такая система функций называется н о р-мированной. Любую О. с. ф. можно нормировать, умножив • jVn
множитель. Из любой системы линейно независимых функций \f;e(x)\ (k=l, 2,...), для каждой из к-рых существует интеграл
ь
l'\fk(x) *p(x)dx,
о
можно построить нормированную О. с. ф. Для этого достаточно рассмотреть линейные комбинации этих функций п
*•(*) = 2е» *>*<*>
и определить коэфициенты Спъ из условия ортогональности = 1/"2"+1 J_'
К 2 2«n!'
'— 1)"
dx"
(••=1,2,...)
Отдельные классы О. с. ф. изучались еще в 18 в. Напр., петербургские академики Л. Эйлер и Д. Бер-нулли рассматривали разложения функций в ряды по тригонометрич. системе функций, по цилиндрическим функциям (см.) и т. д. Исследования по теории потенциала способствовали созданию теории сферических функций (см.). Однако систематич. изучение О. с. ф. связано с введением франц. математиком Ж. Фурье метода решения краевых задач уравнений математич. физики. Этот метод приводит обычно к задаче о разыскании значений параметра X, к-рым соответствуют неравные тождественно нулю решения дифференциального уравнения вида y"-}-q(x)y=^ly, удовлетворяющие граничным условиям y(a)+hy'(a)=0; у(Ь)+Ну'(Ь)=0, где Л и Я — постоянные (см. Штурма — Лиувилля задача). Соответствующие значения X называют собственными значениями, а решения —-собственными функциями задачи. Можно показать, что собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны с весом 1 на отрезке [а, Ь]. Чрезвычайно важный класс О. с. ф. был открыт русским математиком П. Л. Чебышевым в его исследованиях по интерполированию способом наименьших квадратов и проблеме моментов (см. Чебышева многочлены).
Одна из основных задач теории О. с. ф. есть задача о разложении произвольной, удовлетворяющей нек-рым ограничениям, функции f(x) в ряд вида *?рпуп(х), где |<р„(я)( — О. с. ф. Исторически к этой задаче привёл вопрос о возможности разложения любой функции по собственным функциям, получаемым при применении метода Фурье. Если положить формально ?(х)=^Спуп(х), где \у„(х)\— нормированная О. с. ф., и допустить возможность почленного интегрирования, то, умножая этот ряд на = j'f(x) (1)
Коэфициенты Сп, называемые коэфициентами Фурье функции f(x) относительно системы \ п
форма 2 Cnfk(x) наилучшим образом прибли-
*=1
жает в среднем эту функцию. Иными словами, средняя квадратичная ошибка с весом р (х):
= J'l/(*)- 2
а i= 1
= \'\f(x)\*p(x)dx-
i=l

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640


Большая Советская Энциклопедия Второе издание