Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Введенский Б.А. Большая советская энциклопедия Том 34
 
djvu / html
 

100
ПОЛЯ ТЕОРИЯ
мя величинами — скаляром, называемым расхождением (или дивергенцией) поля div a, и вектором, называемым вихрем (или р о т о-р о м) п о л я rot а. Для иллюстрации этих понятий рассмотрим стационарный поток жидкости, для к-рого данное векторное поле», является полем скоростей. Частипы жидкости движутся в этом потоке по векторным линиям поля. За бесконечно малый промежуток времени Дг яек-рый объём жидкости v, окружающий точку Р, перейдёт в объём v' . Если объём v бесконечно мал, то с точностью до бесконечно малых высшего порядка малости v' получается из v растяжением (или сжатием) по трём взаимно перпендикулярным направлениям, поворотом вокруг нек-рой оси, проходящей через Р, характеризуемым вектором угловой скорости о», лежащим на этой оси, и параллельным переносом на вектор akt. Вектор 2о> называется вихрем поля, а относительное объёмное расширение за единицу времени называется расхождением поля в точке Р. Точнее, расхождением
называют предел выражения
ПРИ условии,
что Д< ->- 0, а объём v стягивается к точке JP. В координатной форме:
дах
Da
~ду~
дах до. да*
div а образует скалярное поле, а rot a — векторное поле. Векторные линии поля вихря называются вихревыми линиями, а векторные трубки поля вихря — вихревыми трубками.
Понятие расхождения связано с понятием потока векторного поля "через поверхность. Если рассматривать поле как поле скоростей текущей жидкости, то потоком поля через гладкую ограниченную поверхность ? называется количество жидкости, протекающей через эту поверхность за единицу времени. Поток выражается (с точностью до знака) интегралом
\ anads= \ ay-
S I
где вектор па — непрерывно изменяющий своё направление единичный вектор нормали к поверхности ?. Если ? — замкнутая поверхность, п°— единичный вектор внешней нормали к ней, и жидкость несжимаема, то отличие от нуля потока через ? означает, что внутри ? жидкость вводится в поле (если поток положителен) либо отводится из него (если поток отрицателен). Точка поля, обладающая тем свойством, что поток через любую, достаточно малую окружающую её замкнутую поверхность положителен (отрицателен), называется источником (стоком) поля. Отношение
f
?
«n°ds
где v — объём, ограниченный поверхностью ?, называется средней, отнесённой к единице объёма, обильностью источников и стоков, заключённых в ?. Предел средней обильности
an°ds
при стягивании ? в точку Р называется плотностью обильности источника (стока) в то-
чке Р. Плотность обильности q (положительная для источника и отрицательная для стока) равна значению diva в точке Р. Могут существовать такие точки Q, что
lim \ an°ds = qa
Y->O J
они называются точечными источниками (стоками) обильности . В этих точкад вектор поля не определён. Силовое поле, образованное ньютоновским протяжением точки Q массы т, может рассматриваться как поле с единственным точечным источником в Q, имеющим обильность 4i:m. Аналогично вводятся линейные и поверхностные источники.
Поток жидкости через замкнутую поверхность ? равен количеству жидкости, порождаемой всеми лежащими внутри ? источниками (с учётом знака обильности источников). В случае непрерывности div а этот факт выражается следующей формулой:
Ф an0 ds = \ div a dv
? (см. Остроградскоео формула).
Поле, не имеющее ни источников, ни стоков, называется соленоидальным, или трубчатым. Поток дифференцируемого соленоидального поля через любую замкнутую поверхность, к-рую можно стянуть в поле в одну точку, равен нулю. Поэтому в соленоидальном поле потоки через различные сечения одной и той же векторной трубки равны между собой, т. е. жидкость течёт в каждой векторной грубке, не прибывая и не убывая. Примером соленоидального поля может служить поле скоростей частиц несжимаемой жидкости. Расхождение во всех точках солевоидального поля равно нулю. Поле вихря любого дважды дифференцируемого векторного поля соленоидально. Поэтому потоки через все сечения каждой вихревой трубки равны между собой. Их общее значение называется напряжением вихревой трубки. Линия, для к-рой напряжение окружающей её вихревой трубки имеет отличный от нуля предел при-стремлении диаметра сечения трубки к нулю, называется вихревой нитью. Напр., электрич. токи являются вихревыми нитями для порождаемого ими магнитного поля (см. Максвелла теория). Всякое соленоидальное поле можно представить в вида а = rot 6, где 6 называется векторным потенциалом поля.
Для силовых полей работа, совершаемая силами поля при перемещении пробного тела (единичной массы, заряда) по кривой L, выражается криволинейным интегралом
\ adr— \ ay. L L
Если кривая L замкнута, то этот интеграл называется циркуляцией поля вдоль кривой L. Согласно теореме Стокса (см. Стокса формула), циркуляция дифференцируемого поля равна потоку вихря через любую поверхность ?, ограниченную кривой L,
ф adr= \ n" rot ads.
L ?
Во многих силовых полях (напр., в поле ньютоновского или кулоновского притяжения) циркуляция поля по любому замкнутому контуру равна нулю. В таких полях работа, необходимая для переме-

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650


Большая Советская Энциклопедия Второе издание