Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Введенский Б.А. Большая советская энциклопедия Том 34
 
djvu / html
 

470
ПРИБЛИЖЁННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
пенного ряда для точного решения уравнения. Напр., правая часть формулы Рунге:
У (*J = У (*.) + т & + 2?г + 2&3 + Е4), где
«, = hf К> г/о); 5S = ht (xo + т- г/о + f);
даёт первые пять членов степенного ряда с точностью до величин порядка Л°. К достоинствам метода следует отнести его высокую точность. Метод Рунге применяется, как правило, в тех случаях, Когда число точек xk, в к-рых требуется определить Значения, невелико, т. к. многократное вычисление Правой части уравнения на каждом шагу затрудняет вычислительную работу.
В разностных формулах П. и. это затруднение обходится благодаря тому, что удаётся несколько раз использовать уже вычисленные значения правой части. Решение ищется в виде линейной комбинации yfa), щ и разностей д<гу, где
Ч, = */(*>. У?, Ч;=Ч^-Ч/,
Примером разностной формулы П. и. является известная экстраполяционная формула Адамса. Так, формула Адамса, учитывающая «разности» третьего порядка:
+ -jjjA*T)fc_, + у Д3Т)К_4, (1)
даёт решение у(х) в точке х^ с точностью до величин порядка и'. Для вычисления по этой формуле г/(я4) необходимо знать, помимо у0, ещё у(х,), у(хг) и у(ха), к-рые можно определить приближённо одним из приведённых ранее методов. А. Н. Крылов предложил использовать для нахождения у(хг), у(х2), у(х3) формулы:
У Ю = 2/о + Чо + у Ч — 1*2 Д2г]° + 2? Д3т1<>'
У (*,) = У (*,) + 4t + | Ч + Т2 Д2% - 21 ЛЧ, у (х3) = у (xt) + т)2 + -i- ATIJ +А Д27)0 + ~ Д\.
Они дают три уравнения для определения ^(ж,), у(ж2), у(х3). Эти уравнения обычно решаются методом последовательных приближений. Для контроля правильности вычислений можно использовать интерполяционную формулу Адамса:
^
1 »«.. 1
Она может также служить и для уточнения найденных другим способом значений у(х^). Если по какой-либо причине невыгодно уменьшать шаг и третьи разности Д3т|Л ведут себя неправильно, то можно использовать формулы Адамса, содержащие разности более высоких порядков.
Для уравнений второго порядка можно получить формулы численного интегрирования путём двукратного применения формулы Адамса. Норвежский математик К. Штёрмер получил формулу:
особенно удобную для решения уравнений вида у"= f(x, у). По этой формуле находят Д*1/я_1, а затем Уп+1 = Уп+*Уп+1+**Уп-г Найдя уп+1, вычисляют y"n+i=f(xn+i> Уп+i)' находят разности и повторяют процесс далее.
Если последняя используемая разность начинает сильно меняться, то уменьшают шаг h. Наоборот, если не только последняя разность, но и другие разности перестают меняться, то шаг увеличивают. При уменьшении шага используют интерполяционные формулы. Для уточнения полученных приближённых значений v(xt) можно применять метод последовательных приближений и к интегральному уравнению:
у(х) = Уо + \' t(x,y)dx,
эквивалентному нашему дифференциальному уравнению первого порядка и начальным данным. Если в правую часть подставить вместо у найденные приближённые значения и вычислить интеграл одним из указанных в первой части методов, то получится улучшенное значение для у.
Указанные выше численные методы распространяются и на системы дифференциальных уравнений.
Для решения краевых задач, а также при вычислениях на математич. машинах значительно удобнее формулы, в к-рых разности выражены непосредственно через значения у(х,-). В этом случае для определения у(х/1) получают систему алгебраических или трансцендентных уравнений. Формулы такого типа можно получить также, если заменить производные, входящие в уравнение, их выражениями через з/(з?,-) по формулам численного дифференцирования.
Так, напр., краевая задача т/(0)=г/(1)=0 для уравнения у" — ху =1 может быть сведена к системе линейных алгебраич. уравнений:
_ khy (х,() =
у(х )-2у(х .) + У(х -- *±J - ^_* - *
* = 1, 2, 3 ..... (я-1); »(*,) = У (*») = 0.
Используя такие же приёмы, получают формулы для численного интегрирования дифференциальных уравнений с частными производными (см. Прямых метод, Сеток метод).
3) Весьма разнообразны графические метод ы П. и. дифференциальных уравнений. В простейшем случае строят поле направлений, определяемое дифференциальным уравнением, т. е. в некоторых точках рисуют направления касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Затем проводят кривую так, чтобы касательные к ней имели направления поля (см. Графические вычисления). Полученное приближённое изображение интегральной кривой можно уточнить, применяя, напр., метод последовательных приближений и методы графич. интегрирования. Целый ряд графич. методов является графич. формой применения численных методов, напр, метода ломаных Эйлера, метода Адамса и др. Нередко для П. и. дифференциальных уравнений прибегают к построению номограмм (см. Номография).
4) Для решения дифференциальных уравнений сконструированы и находят широкое применение специальные математич. машины: электроинтеграторы, гидроинтеграторы, дифференциальные анализаторы разных систем и другие моделирующие устройства. Кроме того, численные методы могут быть осуществлены на универсальных вычислительных машинах, получающих всё более широкое распространение в вычислительной практике (см. Интегрирующие машины, Математические машины).
Лит.: Крылов А. Н. , Лекции о приближенных вычислениях, 6 изд., М., 1954; Канторович Л. В.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650


Большая Советская Энциклопедия Второе издание