Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Введенский Б.А. Большая советская энциклопедия Том 34
 
djvu / html
 

610
ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Рис.
Рис.
шинами, прямые АВ, CD, AC, BD, ЕС и AD — его сторонами, стороны, не имеющие общей вершины, называются противоположными, точки пересечения Р, Q, R противоположных сторон — диагональными. Пара точек S и Т1 прямой и будет гармонически сопряжена с парой точек Р и Q этой же прямой, если Р и Q суть диагональные точки к.-н. четырёхвершинника, а точки S и Г являются точками пересечения прямой и с парой противоположных сторон, проходящих через третью диагональную точку.
Это свойство полного четырёхвершинника позволяет определить понятие гармонической четвёрки точек чисто проективно и даёт способ построения (при помощи одной линейки) точки, четвёртой гармонической к трём данным: пусть А, В, С — три точки прямой и (рис. 8). Через точку А проводим две произвольные прямые (/, //), через точку В — произвольную прямую (///), точку С соединяем прямой IV с точ-кой пересечения прямых // и III, точку В соединяем прямой V с точкой пересечения прямых / и IV и, наконец, точку пересечения прямых / и /// соединяем прямой VI с точкой пересечения прямых II и V. Прямая VI пересекает данную прямую и в точке D, четвёртой гармонической к точкам А, В и С. Проективные соответствия. Говорят, что точки двух проективных прямых и и и' находятся вперспективном соответствии, если прямые, соединяющие соответственные точки М и М' прямых и и и', проходят через одну точку S, т. е, образуют пучок. При перспективном соответствии двух прямых и и и' двойное отношение (ABCD) любых четырёх точек прямой и равно двойному отношению (A'B'C'D') четырёх точек А', В , С', D' прямой и', соответствующих точкам А, В, С, D. Двойным отношением (abed) четырёх прямых пучка называют двойное отношение (ABCD) четырёх точек, получающихся в пересечении прямых а, Ь, с, d с произвольной прямой и, не проходящей через центр пучка. Это определение не зависит от выбора прямой и.
Говорят, что точки двух прямых и и «' находятся в п р о-ективном соответствии, если любой гармонич. четвёрке точек прямой и соответствует гармонич. четвёрка точек прямой и'. Оказывается, что при этом двойное отношение (ABCD) любой четвёрки точек прямой и равно двойному отношению (A'B'C'D') соответствующей четвёрки точек прямой и'. Проективное соответствие двух прямых определяется однозначно, если трём точкам одной прямой поставить в соответствие три точки другой прямой (теорема Штаудта). Для того чтобы проективное соответствие двух прямых было перспективным, необходимо и достаточно, чтобы точка пересечения прямых и и и' соответствовала сама себе.
Если две прямые и а и' находятся в проективном соответствии, то их можно связать цепью перспектив. Это значит, что можно построить последовательность перспективных соответствий между
ПРЯМЫМИ U И Ui, Ui И U2,..., Un И и'
(рис. 9, где п = 3) так, что если в данном проективном соответствии точке М прямой и соответствует точка М' прямой «',то в данной последовательности перспективных соответствий точке М прямой и соответствует точка Mt прямой щ, точке М\ прямой «, соответствует точка М^ прямой «2, и т. д., наконец, точке Мп прямой ип соответствует точка М' прямой и'.
Аналогично данным определениям перспективного и проективного соответствия двух прямых можно дать двойственные им определения перспективного и проективного соответствия двух пучков; имеют место теоремы, двойственные тео-
ремам о перспективном и проективном соответствии двух прямых.
Линии второго порядка. Линией второго порядка на проективной плоскости называют множество точек, проективные координаты к-рых удовлетворяют однородному уравнению второй сте-
пени:
anxl
+ 2a31x.dxi = 0.
(2)
Всякая действительная нераспадающаяся линия второго порядка на проективной плоскости (овальная линия второго порядка) есть либо эллипс, либо гипербола, дополненная несобственными точками её асимптот, либо парабола, дополненная несобственной точкой её диаметров. Всякую овальную линию можно перевести в любую другую овальную линию проективным преобразованием. Распадающаяся линия второго порядка на проективной плоскости состоит из двух прямых (действительных различных, действительных совпадающих или различных мнимых прямых). Наконец, возможны не-распадающиеся линии второго порядка, не содержащие ни одной действительной точки. Этим исчерпывается проективная классификация всех линий второго порядка.
Одним из основных понятий П. г., связанных с линией второго порядка, являются понятия полюса и поляры: полярой точки Р, относительно линии второго порядка, называют прямую р, на к-рой лежат точки секущих, проходящих через точку Р, четвёртые гармонические к точке Р и точкам пересечения секущих с данной линией. Точку Р называют тогда полюсом прямой р. Главное свойство полюсов и поляр заключается в том, что если точка Q лежит на поляре р точки Р, то поляра q точки Q проходит через точку Р. Если точка Р — внешняя по отношению к овальной линии второго порядка, то поляра р точки Р проходит через точки прикосновения касательных, проведённых из точки Р к данной линии. Если точка Р лежит на линии второго порядка, то её поляра совпадает с касательной к этой линии в точке Р (см. также Полюсы и поляры) .
Пользуясь свойством полного четырёхвершинника, можно указать способ построения касатель-ных к линии второго порядка ия внешней точки Р с помощью одной линейки: через точку Р проводим две произвольные секущие и и v (рис. 10), строим диагональные точки R и Q полного четырёхвершинника ABCD. Прямая RQ — поляра точки Р, а -РГ и PS — касательные к линии второго порядка, проведённые из точки Р. Если линия второго порядка задана уравнением (2), то уравнение поляры точки Р (р1 : рг : р3) имеет вид:
гЛ + агзЛ) *2 +
Х3 = О-
Треугольник ABC, каждая вершина к-рого является полюсом противоположной стороны относительно линии второго порядка, называют автополярным треугольником этой линии. Если принять автополярный треугольник за координатный треугольник проективной системы координат, то уравнение овальной линии второго порядка в этой системе координат [при надлежащем выборе единичной точки (1:1:1)] будет иметь канонический вид:
ж + *-*!= 0.
Рис. 10.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 611 612 613 614 615 616 617 618 619 620 630 640 650


Большая Советская Энциклопедия Второе издание