Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Введенский Б.А. Большая советская энциклопедия Том 36
 
djvu / html
 

520
РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ
полюсу Р. с. не соответствует никакая точка комплексной числовой плоскости. В целях сохранения взаимной однозначности соответствия между точками комплексной числовой плоскости и Р. с. на плоскости вводят «бесконечно удалённую точку», к-рую считают соответствующей северному полюсу и обозначают z = oo. Таким образом, на комплексной числовой плоскости имеется одна бесконечно удалённая точка, в отличие от проективной плоскости (см.).
Если в пространстве ввести прямоугольную систему координат 5, 1), С так, что оси 5 н т) совпадают, соответственно, с осями х и у, то точке x-\-iy комплексной числовой плоскости соответствует точка
, _ 4Д2ж _ 4Д3гсоз щ
~ ~~ ~~~
1 = 5'
4К!у
4Я2г sin
2R
2Дг»
Р. с. (уравнение к-рой ?'+ч8-К11—2Л?=0).
РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ — многомерное обобщение геометрии на поверхности, представляющее теорию римановых пространств, т. е. таких пространств, где в бесконечно малых областях имеет место (с точностью до бесконечно малых высшего порядка) эвклидова геометрия (при этом всё пространство может не быть эвклидовым). Часто термин «Р. г.» понимают несколько шире, имея в виду то обобщение Р. г., к-рое применяется в теории относительности (см. ниже). Р. г. получила своё название по имени нем. математика Б. Римана, к-рый заложил её основы в 1854.
Понятие о римановой геометрии. Простейший пример риманова пространства представляет любая гладкая поверхность. Действительно, в достаточно малой окрестности любой точки она совпадает (с точностью до величин высшего порядка малости) с касательной плоскостью в этой точке; поэтому в такой окрестности соотношения длин на поверхности будут такими же, как на плоскости (конечно, с точностью до малых величин высшего порядка). Таким образом, в малых областях поверхности имеет место (с точностью до малых величин высшего порядка) эвклидова геометрия.
Напр., при измерениях на участках земной поверхности, малых в сравнении с размерами земного шара, можно с успехом применять обычную планиметрию. Однако результаты измерений на больших участках обнаруживают существенное отклонение от законов планиметрии.
Таким образом, поверхность, рассматриваемая с точки зрения измерений, производимых на ней, оказывается двумерным пространством, геометрия к-рого [т. н. внутренняя геометрия (см.) поверхности], будучи эвклидовой в бесконечно малом, в целом не является эвклидовой; к тому же, как правило, такое пространство неоднородно по своим геометрич. свойствам. Внутренняя геометрия поверхности и есть не что иное, как Р. г. в случае двух измерений, а поверхность, рассматриваемая с точки зрения её внутренней геометрии, есть двумерное риманово пространство.
Перенесение этих понятий на многомерные пространства приводит к общей Р. г. Именно, рассматривается абстрактное пространство л измерений, в к-ром задаётся закон измерения расстояний, совпадающий вблизи каждой точки с обычным эвклидовым с точностью до бесконечно малых высшего порядка.
В основе Р. г. лежат три идеи. Первая идея — признание того, что вообще возможна геометрия, от-
личная от эвклидовой, была впервые развита русским математиком Н. И. Лобачевским. Вторая — это идущее от нем. математика К. Гаусса понятие внутренней геометрии поверхностей и её аналитич. аппарат в виде квадратичной формы, определяющей линейный элемент поверхности. Третья идея — это понятие об л-мерном пространстве, выдвинутое и разработанное в простейших случаях в 1-й половине 19 в. рядом геометров. Риман, соединив и обобщив эти идеи, ввёл, во-первых, общее понятие о пространстве как о непрерывной совокупности любого рода однотипных объектов, к-рые служат точками этого пространства (см. Геометрия, Обобщение предмета геометрии, Пространство в математике). Во-вторых, Риман перенёс на эти абстрактные пространства представление об измерении длин бесконечно малыми шагами, т. е. дал общее понятие о метрике, определяемой формулой:
ds = f (х1, . , ., х»; dx1, .... dx").
Риман специально исследовал метрику, задаваемую формулой (2) (см. ниже), чем и положил начало Р. г.; кроме того, он наметил возможные связи Р. г. со свойствами реального пространства. Такова, кратко, содержание его лекции «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», прочитанной в 1854 я опубликованной лишь после его смерти в 1867. Помимо этого, Риман в другой работе дал приложение аналитич. аппарата своей теории к задаче о распространении тепла в анизотропном теле. Эта работа также была издана лишь после его смерти в 1869. Следует отметить, что Р. г. возникла и развивалась в работах Римана в неразрывной связи с физикой. После опубликования работ Римана его идеи привлекли внимание ряда математиков, к-рые развивали дальше аналитич аппарат Р. г. и устанавливали в ней новые теоремы геометрич. характера (о нек-рых из них см. ниже). Были даны также применения Р. г., напр, в механике (нем. физик Г. Герц). Важным шагом было создание итал. геометрами Г. Риччи-Курбастро и Т. Леви-Чивита на рубеже 20 в. т. н. тензорного исчисления (см.), к-рое оказалось наиболее подходящим аналитич. аппаратом для разработки Р. г. Решающее же значение имело применение Р. г. в создании общей теории относительности, к-рое было триумфом не только абстрактной геометрии и её аналитич. аппарата, но и идей о связи геометрии и физики, выдвинутых Лобачевским и Риманом. Это привело к буйному развитию Р. г. и её разнообразных обобщении (нем. математик Г. Вейль, голл. математик Я. Схоутен, франц. математик Э. Картан). В настоящее время Р. г. вместе с её обобщениями представляет обширную область геометрии, к-рая продолжает успешно развиваться в разных направлениях. В СССР разработка Р. г. велась П. А. Широковым в Казани и группой математиков — участников семинара по Р. г. и тензорному исчислению, основанного в 1928 В. Ф. Каганом при Московском ун-те.
К строго математич. определению риманова пространства можно подойти следующим образом. Положение точки пространства п измерений определяется п координатами, к-рые обычно обозначают х1, хг,..., х". Эвклидово пространство п измерений характеризуется тем, что в нём определено расстояние между любыми двумя точками X, Y, причём в надлежаще выбранных координатах оно выражается формулой:
S (X, У) =
§ = Т/ 2

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670


Большая Советская Энциклопедия Второе издание