Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Введенский Б.А. Большая советская энциклопедия Том 41
 
djvu / html
 

370
СХОДИМОСТЬ —СХОДСТВА ЕДИНСТВЕННОГО МЕТОД
ности. В этой формулировке понятие С. допускает обобщение на совокупности величин ещё более об*-щей природы, вк-рых тем или иным образом введено понятие окрестности (см. Топологическое пространство).
В математич. анализе используются различные виды С. последовательности функций \jn(x)\ к функции j(x) (на некотором множестве М). Если lim fn(xa) =f(xa) для каждой точки хй (из М), то
П->сс
говорят о С. в каждой точке [если это равенство не имеет места лишь для точек, образующих множество меры нуль (см. Мера множества), то говорят о С. по ч т и всюду]. Несмотря на свою естественность, понятие С. в каждой точке обладает многими нежелательными особенностями [напр., последовательность непрерывных функций может сходиться в каждой точке к разрывной функции; из С. функций fn(x) к j(x) в каждой точке не следует, вообще говоря, С. интегралов от функций ~fn(x) к интегралу от }(х), и т. д.]. Англ. учёным Дж. Стоксом было введено понятие равномерной С., свободное от этих недостатков: последовательность \jn(x)\ называют равномерно сходящейся к /(z) на множестве М, если lim sup l/n(z) —/(з;)] = 0. • п-*хжбАГ
Этот вид С. соответствует определению расстояния между функциями f(x) и ср(х) по формуле r(f, хбМ
доказал, что, если последовательность измеримых функций сходится почти всюду на множестве М (т. е. всюду на М за исключением точечного множества меры нуль), то из М можно так удалить часть сколь угодно малой меры, чтобы на оставшейся части имела место равномерная С.
В теории интегральных уравнений, ортогональных рядов и т. "д. широко применяется понятие средней квадратичной С.: последовательность j/»(z)} сходится на отрезке [а,Ь] в среднем к в а д р а-
ъ
тическом к j(x), если lim \ [f(x) — /«(х)\" dx = 0.
n-»oo J а
Более общо, последовательность fn(x) сходится в среднем с показателем р к j(x), если ь
lim \\1(х)—fn(x)\p dx = 0. Эта С., соответствующая
n-»oo J а
заданию расстояния между функциями по формуле
Ъ 11
\ \f(x) — у(х)\р dx I р, была введена венгерским учё-
а
ным Ф. Рисом. Из равномерной С. на конечном отрезке вытекает С. в среднем с любым показателем р. Последовательность частичных сумм разложения функции у(х) с интегрируемым квадратом по нормированной ортогональной системе функций (см. Ортогональные функции.) может расходиться в каждой точке, но такая последовательность всегда сходится к 0 мера множества тех точек, для к-рых \fn(x)—f(x)\ > s, стремится к нулю с возрастанием га; слабая С.:
ь ь
lira f fn(x) П-> 00 J ^
a a
для дюбой функции у(х) с интегрируемым квадра-
том (напр., последовательность функций sin ж, sin2x, ..., sinnx, ....слабо сходится к нулю на отрезке [—я, it], так как для любой функции у(х) с интегрируемым квадратом коэфициенты ряда
TI
Фурье Ьп = — \ ^ J .
—я
Применение понятия слабой С. часто бывает удобно, т. к. для этого понятия имеет место аналог теоремы Больцано — Вейерштрасса: если существует такое ь
число А, что I \f(x)\*dx < А для всех функций
a
нек-рого бесконечного множества {/(ж)}, то из этого множества можно извлечь слабо сходящуюся последовательность.
Указанные выше и многие другие понятия С. последовательности функций систематически изу-чаются'в функциональном анализе (см.), где рассматриваются различные линейные пространства с заданной нормой (расстоянием до нуля),— т. н: банаховы пространства. В таких пространствах можно ввести понятия С. функционалов, операторов и т. д., определяя для них соответствующим образом норму (см.). Наряду со С. по норме (т. н. сильной С.), в банаховых пространствах рассматривается слабая С., определяемая условием lim п -> оо '' ' • • ' ' ' ''
линейных функционалов; введённая выше слабая С. функций соответствует рассмотрению нормы
ь 1/
I (\f(x)\2dx \ . В современной математике рассмат-
о
ривается также С. по частично упорядоченным множествам (см. Упорядоченные и частично упорядоченные множества). В теории вероятности (см.) для последовательности случайных величин употребляются понятия С. с вероятностью 1 и С. по вероятности.
Лит.: X. и н ч и н А. Я., Краткий курс математического анализа, М., 1953; Фихтенгопьц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 1, 3 изд., М.—Л., 1951; Люстерник Л. А. иСоболев В. И., Элементы функционального анализа, М.—Л., 1951; Б а-н а х С., Курс функционального анал!зу, Ки'гв, 1948.
СХОДКА (сход) — в дореволюционной России собрание представителей сельской общины (мирская сходка, сельский сход, см.). С. назывались также революционные собрания рабочих, студентов и т. д.
СХбДНИЦА — посёлок городского типа в Дро-гобычской обл. УССР. Подчинён Бориславскому горсовету. Расположен на сев.-вост. склонах Карпат, в 9 км к Ю.-З. от Борислава. Газолиновый завод. Средняя школа, школа рабочей молодёжи, клуб, библиотека, стадион.
СХЙДНЯ — деревянный переносный помост с набитыми поперёк брусками (ступеньками), с поручнями с боков, употребляемый для перехода с судна на пристань и обратно, а также с одного судна на другое. Для удобства передвижения иногда С. снабжают роликами. Для этой же цели служат трапы (см.).
СХЙДНЯ — посёлок городского типа в Химкинском районе Московской обл. РСФСР. Ж.-д. станция на линии Москва — Клин, в 30 км от Москвы. В С.— стекольный завод, предприятия местной пром-сти. 3 средние школы, кинотеатр, библиотека, стадион.
СХОДСТВА ЕДИНСТВЕННОГО МЕТОД (в л о-г и к е) — один из элементарных методов установления причинной Связи явлений, к-рый заключается в следующем; если два или более случаев 'исследу'е-

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650


Большая Советская Энциклопедия Второе издание