Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Введенский Б.А. Большая советская энциклопедия Том 41
 
djvu / html
 

450
ТАБЛИЦЫ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
тельной техники, к-рую предполагается использовать при их применении. Среди употребляемых в настоящее время (середина 20 в.) Т. а. имеются ещё рассчитанные на вычисление при помощи логарифмов и арифмометров, но при употреблении их широко используются счётно-аналитические и быстродействующие электронные вычислительные машины. Распространение быстродействующих вычислительных машин, позволяющих весьма эффективно и вполне автоматически вычислять координаты светил непосредственно по формулам, даваемым теориями их движения, делает во многих случаях нецелесообразным составление новых Т. а. С 1960 вычисление нек-рых разделов астрономич. ежегодников будет проводиться без помощи Т. а., непосредственно по формулам, представляющим движение светила.
ТАБЛИЦЫ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ — одно из важнейших вспомогательных вычислительных средств. Обычно Т. м. представляют собой совокупность значений к.-л. функции y=f(xl,...,xn) для нек-рых значений переменных. Запоминаемая в детстве таблица умножения y = xl-xi (где я,, я2=1, 2,...,9), таблицы тригонометрич. функций, таблицы логарифмов — примеры математич. таблиц. Т. м. употребляются всюду, где приходится иметь дело с расчётами: в математике, физике, химии, астрономии, технике, экономике и т. д.
Для непрерывно меняющихся переменных хг,...,хп функции з/=/(ж1,...,х ) в таблицу включаются значения (ответы) у',,...,у„ лишь при нек-рых значениях
(xt,...,xn)1.....(x^-.tX^y-, для нахождения f(xl,...,xn)
в случае, если (xlt...,x ) не включено в таблицу, необходимо проводить интерполяцию (см.). Каждая Т. м. характеризуется степенью точности (числом верных знаков или значащих цифр в табличных ответах), диапазоном изменения аргументов, шагом (разностью между соседними табличными значениями аргументов).
При создании таблицы функции у = j(xl,...,xn> решаются два основных вопроса: а) конструкция таблицы, т. е. выбор диапазона переменных х^,...,хп, выбор тех значений переменных, для к-рых приводятся ответы, размещение материала, вопрос о пользовании готовыми таблицами и т. д.; б) вычисление значений f(x1.....хп).
Задача б) не является специально табличной; специфика состоит в необходимости тщательной проверки большого цифрового материала (как при вычислении, так и при типографских корректурах). Один из наиболее распространённых приёмов такого контроля ;— проверка ответов по разностям. Если переменное ж, принимает значения а, а + h, a + 2h,..., Ъ, то для гладкой функции у =/(х,,...,жа) разности Д^у, A2XlIly,... некоторого порядка становятся малыми, ошибки в отдельных значениях у резко нарушают эту малость [так, для проверки таблиц функции y=sinx при ог = 1°, 2°,..., 90" используют
. 1 / it \t
неравенство |Д"у| < j,"l y^ I ; проверка пятизначных таблиц этой функции состоит в проверке малости Д3у: ошибка в таблицах не превосходит 5-10~", если |Д31/| не превышает 4-10-5].
Для проверки ответов по разностям особенно удобны счётно-аналитические машины.
При конструировании таблицы решается задача размещения на приемлемом объёме необходимого числа ответов уг,...,у^ так, чтобы значение функции
f(x,,...,xn) для значений (xl,...,xn) (возможно и не попавших в число табличных) можно было определить наиболее лёгким способом. Диапазон изменения переменных определяется как из практич. потребностей, так и из того, сколь легко вне его можно вычислять функцию с принятой в таблице точностью.
Шаг по переменным выбирается таким, чтобы интерполяция приемлемого порядка давала нужное число верных знаков. В таблицах массового применения допускается обычно только линейная интерполяция, в таблицах, имеющих более узкое назначение,—• квадратичная (более высокий порядок нежелателен и встречается реже). Необходимые при этом вспомогательные величины (разности функции и пр.) обычно включаются в таблицу. Возможна и другая табличная реализация функций. Так, представляя функцию в различных интервалах многочленами, можно задавать лишь коэфициенты этих многочленов. Такое представление очень сильно уменьшает объём таблицы за счёт усложнения техники отыскания ответа; оно особенно удобно для ввода функций в математические машины (см.). Важным приёмом, дающим возможность получить более гладкую функцию и тем самым упростить конструкцию таблицы (уменьшить число ответов, упростить интерполяцию и пр.), является замена аргументов и замена исходной функции на другую, связанную с ней простым соотношением.
Один из наиболее интересных вопросов конструирования таблиц — расположение материала таблиц функций от многих переменных. Для функций двух переменных ответы обычно располагаются по строкам и столбцам так, что строка соответствует одному аргументу, столбец —• другому. Сложнее обстоит дело с составлением таблиц функций большего числа аргументов. Так, напр., для составления таблицы функции трёх переменных у = /(*,, хг, ж3) общий прямой способ размещения материала — расположение на странице ответов для нек-рого прямоугольника плоскости зс,ж2 при постоянном жа и переход к другим страницам при изменении этого прямоугольника и значения х3— может потребовать очень много места, таблица окажется практически неприемлемой. Однако в ряде случаев функцию у =/(х,, зс2, ж3) можно представить как суперпозицию (комбинацию) функций двух переменных, что даёт возможность создать для таблиц этой функции специальную конструкцию, позволяющую разместить необходимый материал на небольшом объёме. Так, если y—f(xi,Xz,x3)=g['f (xi, хг), зс3], то можно дать таблицы функций z=9 (x,, хг) и v=g(z, эс3); ответ находится двумя отысканиями. Эту конструкцию можно улучшить, если зависимость z =?(зс,, зс2) заменить равносильной ей х2 = cj/(z, x,) и таблицы функций y=g(z, х3) и x, = fy(z, эс,) разместить рядом. По второй таблице в столбце xi отыскиваем место, где функция ф равна эс2, по этой же строке (строка z) перемещаемся в первую таблицу и в столбце ж,, находим нужный ответ. Такого типа конструкции, разрабатываемые особенно успешно советскими математиками, могут быть применены и к более сложным комбинациям функций. Здесь возникают интересные математич. вопросы о возможности (точного или приближённого) представления исходной функции в виде комбинации функций определённого типа. В этих вопросах конструирование Т. м. соприкасается >с номографией (см.). Конечно, все эти возможности дают практический эффект только тогда, когда каждый из аргументов принимает лишь небольшое число значений и для требуемой точности достаточна простейшая интерполяция.
Т. м. появились уже в раннем периоде развития математики. Так, в Вавилоне, еще за 2000 лет до н. э., были широко распространены таблицы произведений натуральных чисел, таблицы чисел вида
—,гег, п3, п3-\-пг и др. Эти таблицы применялись для
различных вычислений и позволяли вавилонским математикам решать довольно сложные вычислительные задачи.
Первые таблицы трансцендентных функций появились в Древней Греции в связи с развитием астрономии и накоплением ею обширного материала наблюдений, требовавшего математич. обработки. В сочинении греч. астронома Птолемея (2 в.) «Альма-secm» (см.) содержатся первые, из дошедших до нас, тригонометрич. таблицы. В таблицах Птолемея даны значения длин хорд, соответствующих дугам от 0° до 180° через каждые 30' (длина хорды выражена в долях радиуса по шестидесятиричной системе). Для целей интерполяции в таблицах помещены разности. Т. м. (в частности, таблицы тригонометрич.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650


Большая Советская Энциклопедия Второе издание