Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Введенский Б.А. Большая советская энциклопедия Том 42
 
djvu / html
 

660
топология
IV. Общая комбинаторная топология.
В настоящее время основные гомология, понятия определены для гораздо более широких классов фигур, чем полиэдры, а именно для всех компактов (см.) (П. С. Александров, 1926—29) и даже для некомпактных пространств. В основе возникшей таким образом общей комбинаторной Т. лежит понятие п о к р ы т и я, т. е. системы открытых множеств данноготопологич. пространства, и ею нерва (П. С. Александров, 1926). При этом для компактов рассматриваются лишь конечные, т. е. состоящие из конечного числа элементов покрытия, а для некомпактных множеств, звёздно-конечные покрытия (каждый элемент пересекается лишь с конечным числом элементов того же покрытия). Нерв покрытия есть симплициальный комплекс, вершины к-рого взаимно-однозначно соответствуют элементам покрытия; несколько вершин образуют остов симплекса нерва в томи только в том случае, если соответствующие элементы покрытия имеют не пустое пересечение. Всё более и более мелким покрытиям данного множества (напр., компакта) соответствуют, т. о., комплексы, в известном смысле аппроксимирующие это множество; топологич. свойства множества могут Сыть выражены через комбинаторные свойства этих комплексов; в частности, группы Бетти комплексов имеют в качестве предельных групп (разных типов) группы, к-рые естественно назвать группами Бетти самого апроксимируемого этими комплексами множества. Путём развития этих понятий получается общая комбинаторная Т. точечных множеств и топологич. пространств, разработанная в значительной степени советскими учёными (П. С. Александров, Л. С. Понтрягин, К. А. Ситников и др.). Первую и весьма значительную её часть составляет теория размерности; созданная П. С. Урысоном на чисто теоретико-множественной основе (1921), она в настоящее время влилась в общую гомологич. топологию. Урысон дал своё определение размерности (для широкого класса пространств) в двух эквивалентных формах: индуктивной и при помощи покрытий. В предположении, что пространства размерности ^п— 1 определены, говорят, что топологич. пространство имеет в данной своей точке х размерность ^ п, если во всякой окрестности этой точки содержится меньшая окрестность, граница к-рой имеет размерность =Sn—1; пространство, имеющее во всех своих точках размерность ^п, называется пространством размерности ^ п. Пустому множеству и только ему приписывается размерность—1; это даёт возможность определить индуктивно пространства лю-Сой размерности п. При этом оказывается, что эвклидово n-мерное пространство имеет и размерность в смысле Урысона, равную п. Это же понятие может быть (особенно просто для компактов) определено также следующим образом. Назовём кратностью покрытия наибольшее такое число *, что в покрытии имеется * элементов с непустым пересечением. Компакт имеет размерность ^ п, если он имеет сколь-угодно мелкие (т. е. состоящие из элементов со сколь-угодно малыми диаметрами) конечные покрытия кратности ^ п+1. Но покрытия кратности п+1 суть не что иное, как покрытия, нерв к-рых есть в элементарном смысле слова n-мерный комплекс (отсюда связь общей размерности с элементарно-геометрической). Наряду с теорией размерности, наиболее глубокой и разработанной частью общей комбинаторной Т. является теория топологич. двойственности. Она имеет своей центральной задачей выяснение того, можно ли группы Бетти данного множества А, лежащего в нек-ромтопологич. пространстве X, выразить через группы Бетти дополнительного множества Н=Х\А. Для случая, когда А —кривой полиэдр, а X есть n-мерное эвклидово пространство, положительное решение этого вопроса дано Дж. Александером в 1923. Л. С. Понтрягин (1932) доказал аналогичную теорему для любых замкнутых множеств, лежащих в n-мерном эвклидовом пространстве. Закон действенности Понтрягина был сравнительно с теоремой Александера большим принципиальным шагом вперёд, уже сама формулировка теоремы двойственности в случае любых компактов потребовала создания новой теории — теории характеров топологич. групп. Теоремы, аналогичные закону двойственности Понтрягина, были доказаны для произвольных незамкнутых множеств эвклидова пространства П. С. Александровым и К. А. Ситниковым (1947, 1951). В HJBOM направлении развили теорию двойственности А. Н. Колмогоров и Дж. Александер (1936 и последующие годы). Сохраняя предположения о замкнутости множества А в объемлющем пространстве X, они доказали теорему двойственности, существенно отличную от теоремы Понтрягина, для практически сколь-угодно общих пространств X. Своё завершение этот круг идеи получил в работах П. С. Александрова о гомологич. свойствах расположения замкнутых множеств (1942).
V. Топология непрерывных отображений.
Исследование непрерывных отображений (сначала многообразий, а потом и более общих фигур, в основном всё же полиэдров) началось в первые же годы самостоятельного существования Т. Уже Пуанкаре понял важность для приложений (дифференциальные уравнения) установления наличия неподвижных точек при непрерывных отображениях
определённых фигур на себя. Первая общая теорема о неподвижных точках была доказана голл. математиком Л. Брау-эром (1911): при всяком непрерывном отображении замкнутого симплекса в себя имеется неподвижная точка, т. е. точка, совпадающая со своим образом. Предложение, эквивалентное теореме Брауэра, еще несколько раньше было доказано латвийским математиком П. Болем. За этой теоремой последовал ряд других, вплоть до теоремы Лефшетца — Гопфа, сводящей подсчёт т. н. алгебраич. числа (т. е. суммы определённых нек-рым образом кратностей) неподвижных точек к подсчёту алгебраич. инвариантов гомоморфизмов групп Бетти, вызываемых данным непрерывным отображением полиэдра в себя. Таким образом, возникло новое направление исследования — алгебраич. теория непрерывных отображений. В теории непрерывных отображений одного полиэдра в другой центральным является понятие класса непрерывных отображений, введённое еще Брауэром: два отображения принадлежат к одному классу, если они гомотопны между собой. В связи с проблемами теории размерности нем. математик Г. Гопф (1932)доказал следующую теорему: классы непрерывных отображений n-мерного полиэдра в п-мерную сферу находятся в естественном взаимно-однозначном соответствии с элементами n-мерной д-группы полиэдра X. Эта теорема (обобщённая впоследствии на случай отображений любых n-мерных компактов и даже более общих пространств на n-мерную сферу) сводит гомотопич. инварианты непрерывных отображений на сферу (т. е. свойства классов этих отображений) при условии равенства размерностей сферы и отображаемого на него пространства X к гомологич. инвариантам пространства X. Однако даже для отображений трёхмерной •сферы 53на двумерную S2 (т. е. в простейшем случае неравенства размерностей) такая редукция невозможна; Гопф доказал, что существует бесконечное число классов непрерывных отображений S3 на S*. Эти два результата Гопфа явились началом большой новой области Т.— т. н. гомотопической Т., получившей чрезвычайно большое развитие в последние годы. Существенным аппаратом этой области Т. явились введённые В. Гуревичем (США) гомотопические группы, представляющие собой многомерное обобщение фундаментальной группы Пуанкаре. В этой теории проблема классификации отображений сфер большей размерности на сферы меньшей получила большое значение. После того как Гопф (1931) установил, что число классов отображений (2п—1)-мерной сферы на n-мерную при чётном п бесконечно, Понтрягин (1937 и последующие годы) доказал, что существует точно два класса отображений (п+1)-мерной сферы на n-мерную при n S 3 п (п+2)-мерной сферы на n-мерную при п ^ 2. Число классов отображений (п+*)-мерной сферы на n-мерную во всех случаях, отличных от исследованных Гопфом, конечно; эта теорема доказана франц. математиком Ж. Серром (1951), одним из представителей новой французской топологической школы (Ж. Лерэ, А. Картан и др.). В СССР значительные результаты в гомотопич. Т. получены Л. С. Понтряги-ным и его учениками (В. Г. Болтянский, М. М. Постников и др.).
Перенесение общих гомологич. и гомотопич. понятий в область бесконечно-мерных функциональных пространств (впервые Л. А. Люстернином и Л. Г. Шнирельманом, впоследствии М. Морсом, Ш. Лерэ и Ю. Шаудером и др.) имеет большое значение для анализа (троремы существования для уравнений с частными производными, функциональный анализ, в частности вариационное исчисление).
YI. Основные этапы развития топологии.
Первый период от Л. Эйлера (середина 18 в.) до А. Пуанкаре дал, кроме отдельных более или менее разрозненных результатов, лишь топологич. классификацию поверхностей. Современная Т. многообразий и вообще л-мерная комбинаторная Т. основаны Пуанкаре: знаменитый мемуар «Analysis situs» (1895) и пять прибавлений к нему (1899— 1911). Работам Пуанкаре предшествовали теоретико-множественные работы нем. математика Г. Кантора, в к-рых заложены основы теоретико-множественной Т., развившейся затем прежде ве-его в т. н. Т. континуумов — работы гл. обр. польской школы (3. Янишевский, С. Мазуркевич, К. Куратовский, В. Серпинский), а также австрийской (X. Хан, К. Менгер) и американской (Р. Моор и его ученики). Понятия метрич. пространства, компактности, полноты и др., а также различные варианты понятия топологич. пространства были сформулированы в диссертации франц. математика М. Фреше (1906); один из важнейших типов топологич. пространства был определён и исследован нем. математиком Ф. Хаусдорфом в его книге «Тео-

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 661 662 663 664 665 666 667 668


Большая Советская Энциклопедия Второе издание