Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Введенский Б.А. Большая советская энциклопедия Том 43
 
djvu / html
 

230
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Так как центральный угол в радианной мере измеряется том же числом, что и дуга (радиус окружности равен единице), то cos cp и sin cp можно рассматривать как косинус и синус угла. Вообще под аргументом Т. ф. принято понимать ч и с л о, к-рое можно рассматривать геометрически как длину дуги или радианную меру угла. Если аргумент Т. ф. рассматривают как угол, то его значение может быть выражено и в градусной мере (считая в прямом угле, радианная мера к-рого равна четверти длины
окружности радиуса 1, т. е. у, 90 градусов). Для острых углов ср (0 < ср< у), и только для них,
Т. ф. cos cp и sin ер можно рассматривать как отношения катетов прямоугольного треугольника, прилежащего углу или противолежащего ему, к гипотенузе. Дуга, АВ окружности называется 1-й её четвертью, соответственно дуги В А'—2гй, А'В'— 3-й, В'А —4-й четвертями. Для углов ер из 1-й четверти: cos ср > О, sin ср > 0, из 2-й четверти: cos ср < 0, sin ер > 0, из 3-й четверти: cos ср < 0, sin ер < 0, из 4-й четверти: cosep>0, sincp<0. Кроме того, cos ер — чётная функция: cos (—ср) = cos ер, a sin ер — нечётная функция: s.in (—ср)=—sincp.
С помощью основных Т. ф. sin ер и coscp можно определить другие Т. ф.: т а н г е н с tgep —Ji11:? )
i COS'S '1
котангенс ctg ср= -г--, секанс sec ср = —— в т sm? ' т cos?
и косеканс cosec ср= щ^. При этом tg cp и
sec ср определяются только для таких ср, для к-рых cos ср f и, a ctg

cos cosec cp = sec I -=-
Подобно синусу и косинусу остальные Т. ф. для _острых углов могут рассматриваться как отношения сторон прямоугольного треугольника: тангенс и котангенс как отношения катетов (противолежащего к прилежащему и наоборот), а секанс и косеканс как отношения гипотенузы соответственно к прилежащему и противолежащему катету.
Так как точка С, являющаяся концом дуги ср, служит одновременно концом дуг ер4-2гс, ср +4гс,... (2го — длина окружности), то все Т. ф. оказываются периодическими. При этом основным периодом функций sin cp, cos ep, sec cp, cosec ср является число 2 тс (угол в 360°), а основным периодом tg ср и ctg cp — число тс (угол 180°), т. е. sin (cp +2птс) = sin cp, cos (<р+2птс) = соз ср и т. д., tg(;p+mi)=tgcp, ctg(cp+mt) = =ctg cp при любом целом п.
Значения Т. ф. одного и того же аргумента связаны между собой рядом соотношений, из к-рых важнейшим является sm2cp+cos2cp=l. Пользуясь уже приведёнными соотношениями, определяющими остальные Т. ф., отсюда можно получить также, что tg2 ср + 1 = sec2 cp и ctg2 cp +1 = cosec2 ср. Для нек-рых значений аргумента значения Т. ф. могут быть получены из геометрич. соображений (см. табл. на стр. 231).
Для больших значений аргумента можно пользоваться т. н. формулами приведения, к-рые можно получить, используя периодичность, чётность или нечётность Т. ф., а также указанные выше формулы для дополнительных аргументов, к-рые справедливы для всех значений ср. Формулы приведения позволяют выразить Т. ф. любого аргумента через Т. ф. аргумента ср, удовлетворяющего
соотношению -0 ^ ср sg: ~ или даже 0 sg ср ^ -^- , что
упрощает составление таблиц Т. ф. и пользование ими, а также построение графиков. Эти формулы имеют вид:
sin
cos
= ± sincp; sinf tp+я ^ )= ± coscp; = ± coscp; cosf cp-fn -^ J= =p sincp; \ (1) = tgcp;
1-|Л= — ctgep;
в левой колонке п может быть любым целым числом, причём верхний знак соответствует значению n=2k, а нижний — значению n=2k-}-{; в правой колонке
Рис. 2. Графини тригонометрических функций: 1 — синуса; 2 — косинуса; 3 — тангенса; 4 — котангенса; 6 — секанса; в — косеканса.
п может быть только нечётным числом, причём верхний знак берётся при п=4/с-|-1, а нижний при п= =4/t—1. Графики Т. ф. см. на рис. 2.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670


Большая Советская Энциклопедия Второе издание