Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Введенский Б.А. Большая советская энциклопедия Том 44
 
djvu / html
 

410
УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ СИСТЕМ
балкам-полосам, двутавровым балкам, рамам, пластинам, оболочкам, трубчатым конструкциям и другим элементам, имеющим малые размеры в одном или в двух направлениях и получающим всё большее распространение в инженерных сооружениях. Физическим признаком устойчивости или неустойчивости формы равновесия служит поведение нагруженной упругой системы при её отклонении от рассматриваемого положения равновесия на некоторую малую величину. Если система, отклонённая от положения равновесия, возвращается в первоначальное положение после устранения причины, вызвавшей отклонение, то равновесие устойчиво. Если отклонение не исчезает, а продолжает расти, то равновесие неустойчиво. Если система продолжает сохранять равновесие и в отклонённом положении, то равновесие является безразличным. Аналитическим признаком характера равновесия служит характер изменения функции потенциальной энергии П системы при малом отклонении последней от положения равновесия. Если j,, n = min; Ш/% = 0; 52П/5^ > О
При неустойчивом равновесии
П = шах; оП/(% = 0; а2П/3^ < 0. Если равновесие безразличное, то
П = const = 0; dUjdqi = 0; d^njdq] = 0. (а)
Постоянная энергия в безразличном состоянии здесь принята за нуль.
Подавляющая часть инженерных сооружений и конструкций должна, согласно своему назначению, находиться в состоянии устойчивого равновесия. Потеря устойчивости равновесия упругой системы в большинстве случаев эквивалентна её разрушению. Поэтому инженер, проектирующий сооружение, должен заботиться не только о прочности, но и об устойчивости последнего. Нагрузка (или её параметр), при к-рой устойчивое равновесие переходит в неустойчивое, называется критической нагрузкой (или критич. параметром), а состояние системы — критическим состоянием. Определение критических сил (или критич. параметров) и составляет предмет теории У. у. с.
Для определения критич. ыагруаки имеется ряд методов. Из них основными являются три: 1) Статический метод, по к-рому составляют дифференциальные уравнения равновесия исследуемой системы в отклоненном на малую величину состоянии. Эти уравнения совместно с граничными условиями приводят к системе линейных однородных уравнений, число к-рых равно числу неизвестных постоянных интегрирования. Для получения ненулевого решения приравнивают нулю определитель, составленный из коэфициентов при этих неизвестных. Это даёт харантеристич. уравнение (уравнение устойчивости), из к-рого и определяются значения лритич. нагрузок. 2) Д и-н а м и ч е с к и и метод, сущность к-рого заключается в том, что составляется уравнение малых колебаний нагруженной упругой системы около положения устойчивого равновесия, а критич. нагрузка определяется из условия обращения в нуль частоты этих колебаний. Этот метод обычно менее удобен, т. к. усложняет составление и решение дифференциальных уравнений в конкретных задачах. С другой стороны, он позволяет объединить теорию колебаний и теорию У. у. с. 3) Энергетический метод, по к-рому критич. нагрузка определяется из условий (а). При малых отклонениях достаточно удовлетворить первому из этих условий: П=Т+С/ = 0, где Т и U — потенциальная энергия внешних и внутренних сил упругой системы. Так как отклонённая форма заранее неизвестна, то её задают приближённо. Поэтому критич. нагрузка также получается приближённо.
Рис. ).
Уяснить применение указанных методов удобно на простейшей модели упругой системы с одной степенью свободы. На рис. 1 показан абсолютно жёсткий стержень длины 1, шарнирно закреплённый в точке А спиральной пружиной с коэфициентом податливости с (моментом силы, поворачивающей стержень на 1 радиан) и несущий на верхнем конце сосредоточенный груз Р. Необходимо найти критич. значение груза. Применяя статический метод, дают стержню малое отклонение на угол <р при Р=Ркр и составляют уравнение равновесия системы: PI sina—c'i=0. Если принять, что отклонения малы (sinic =:<р), то получается (Р1— с) ъ = 0. Ненулевое решение даёт: PKp=cjl. Применяя динамич. метод, отклоняют стержень на малый угол и предоставляют ему возможность при Р<Ркр свободно колебаться. Составляют уравнение свободных колебаний Р • • —1г'?+Р1 sin?—'^с=0 (g — ускорение силы
тяжести).
При малых колебаниях имеем ^2+ш*ср= О,
где квадрат круговой частоты <иг=(— .
По мере возрастания Р период колебаний возрастает, а частота уменьшается. Из условияш = 0 находим РКр=с!1. Пользуясь энергетич. методом, можно, как и ранее, отклоняя стержень на малый угол, составить уравнение: П = — PI (I— cos-f)+
С"2 Ц2
Н—— = 0. При малых колебаниях (1 — cos «2 (PI— с) ~= 0 иРкр = с/1. Таким образом, все три метода дают
одинаковый результат. Величина <р при этом остаётся неопределённой. Для её нахождения необходимо решать уравнения точно, считая отклонения конечными. Аналогичным путём определяется критич. нагрузка для системы с п степенями свободы; при этом составляется не одно уравнение, а система п алгебраич. уравнений. В случае реальных упругих систем, обладающих бесконечным числом степеней свободы, система однородных алгебраич. уравнений заменяется одним или несколькими дифференциальными уравнениями, а обращение определителя в нуль приводит к характеристическому уравнению бесконечно высокой степени, т. е. к трансцендентному уравнению. Возможно приближённое решение, состоящее в замене системы с бесконечно большим числом степеней свободы системой с конечным числом степеней свободы. Вместо такой замены можно применять приближённые приёмы к интегрированию дифференциальных уравнений. Сюда относятся: способ Ритца, способ Бубнова — Галёркина, численное интегрирование, способ последовательных приближений, способ конечных разностей, гра-фо-аналитич. способ упругих грузов и др. К исследованию У. у. с. могут применяться и интегральные уравнения.
На рис. 2—6 показаны несколько простых примеров потери устойчивости и выписаны значения критич. нагрузок, где приняты обозначения: В = Е1 — наименьшая изгибная жёсткость стержня (Е —модуль Юнга, / — момент инерции поперечного сечения), C= крутильная жёсткость стержня (G — модуль сдвига, Id — крутильный момент инерции). Рис. 2 представляет продольный изгиб прямолинейных стержней, исследованных еще в 1744 петербургским академиком Л. Эйлером. Здесь в критич. состоянии возможны две формы равновесия — прямолинейная и криволинейная. Величину „ ъ*Е1 „ „ 1Т
РКр= -j— называют эйлеровой критич. силой. На
рис. 3 показана потеря устойчивости плоской
'Рис. 2.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660


Большая Советская Энциклопедия Второе издание