Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Введенский Б.А. Большая советская энциклопедия Том 47
 
djvu / html
 

390
ЧИСЕЛ ТЕОРИЯ
вопрос о конечности числа решений в общем случае не решён. Напр., не доказано даже, что уравнение Ферма хп -\- уп = z" имеет для любого п лишь конечное число решений.
В области решения сравнений по большим модулям, напр, у* =з ах3 + бог2 + cx-\-d (mod p) при большом р, достаточно точные оценки числа решений были получены Л. Морделлом (Англия), X. Хассе и в особенности А. Вейлем, доказавшим аналог гипотезы Римана для нек-рых специальных классов обобщённых дзета-функций, связанных с числом решений сравнений по простым модулям.
Свойства целочисленных решений уравнений в ряде случаев изучаются с помощью теории диофантовых приближений (см.). Простейшим фактом этой теории является то, что, если а— иррациональность, то неравенство |а—.p/s| действительные числа, и е>0 сколь угодно мало, то всегда найдутся целые числа рг,..., рп, N такие, что одновременно верны неравенства |./Vafc—р%—Рк|<е,
&=1,2..... п. Эта теорема используется в различных
вопросах теории функций. Количественные связи
между N и г в зависимости от природы аъ й=1,2.....п,
были установлены советским математиком А. Я. Хин-чиным.
Различные задачи типа вышеприведённых распадаются на задачи, где изучаются приближения, связанные с любыми заданными числами, ;на задачи, где изучаются метрические свойства числовых совокупностей, для к-рых верны те или иные аппро-ксимационные теоремы, и на задачи, в к-рых в том или ином смысле учитывается арифметич, природа входящих в задачу чисел. К первому типу относятся вышеприведённые задачи. Примером задач второго типа может служить теорема А. Я. Хин-чина, утверждающая, что при любом сколь угодно малом g неравенство |а—/>/?|-О?~а имеет бесчисленное множество решений в целых р и q почти для всех а, исключая множество меры нуль (см. Мера множества). К третьему типу задач относится задача приближения алгебраич. иррациональностей, о к-рой говорилось выше (в разделе Элементарные методы теории чисел). Основные результаты в первых двух направлениях принадлежат П. Л. Чебы-шеву, А. А. Маркову, А. Гурвицу, А. Я. Хинчину и Г. Минковскому, работы к-рого положили начало геометрии чисел (см. Целочисленная решётка).
К диофантовым приближениям относятся и задачи на распределение дробных долей функции, напр, тот факт, что дробные доли функции ахп, где а иррационально, л>0, при х, пробегающем натуральный ряд равномерно, располагаются на отрезке (0; 1). Особенно большую роль в теории распределения дробных долей играет разработанный И. М. Виноградовым метод тригонометрич. сумм.
К области диофантовых приближений можно отнести и теорию трансцендентных чисел (см.), т. к. трансцендентность числа устанавливается по характеру приближений его рациональными или алгебраич. числами. К первой- группе задач этой теории можно отнести задачи на доказательство трансцендентности чисел, представляемых быстро сходящимися рядами рациональных чисел. Эти задачи ре-
шаются применением теорем о быстроте приближения алгебраич. чисел рациональными, напр, транс-
GO
цендентность числа n='J>]2~n* доказывается при-
п=1
менением неравенства Лиувилля (см. выше, раздел Элементарные методы теории чисел). В этом направлении интересные результаты принадлежат нем. математику К. Малеру, доказавшему трансцендентность десятичной дроби 0,1234567891011... .
Другой круг задач относится к доказательству трансцендентности значений целой функции при алгебраич. значениях аргумента, если эта функция разлагается в степенной ряд с алгебраическими, удовлетворяющими нек-рым условиям коэфициентами и удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению с полиномиальными коэфициентами. Первые результаты в этом направлении принадлежат франц. математику Ш. Эрмиту, доказавшему (1873) трансцендентность числа е, и .нем. математику Ф. Линдеману, доказавшему (1882) трансцендентность числа те. В этих работах были использованы
СО л
свойства функции ех = 2 пТ как аналитические, так
п=0
и арифметические. В 1930 К. Зигель создал в этом направлении общий метод, позволивший ему, напр., доказать трансцендентность значений функции
50 zm
2 («О* ПРИ алгебраическом z^O. В самое послед-п=1 • '
нее время советскому математику А. Б. Шидловскому удалось усилить метод К. Зигеля и установить трансцендентность значений функций типа е® при алгебраич. значениях аргумента, если эти функции удовлетворяют дифференциальным уравнениям любых порядков.
Начало третьей группы проблем было положено одним утверждением Л. Эйлера (1748), к-рое в более общей форме было в 1900 сформулировано нем. математиком Д. Гильбертом: число а>> при алгебраическом а, a.fQ, ajti и алгебраическом иррациональном Ъ транс-цендентно. Это предложение было полностью доказано в 1934 советским математиком А. О. Гельфондом, а разработанный им метод был использован в других задачах этого типа. В основе этого метода лежит возможность подбора целой функции, принимающей алгебраич. значения вместе со своими производными в точках натурального ряда, имеющей в ряде таких точек нули высокой кратности при предположении алгебраичности аЬ. Имея большое число нулей и принимая алгебраич. значения во всех точках натурального ряда, такая функция должна иметь ещё больше нулей в этих точках, что приводит к тождественному обращению в нуль этой функции, по построению не равной нулю. В дальнейшем это направление разрабатывалось нем. математиком Т.Шнейдером.доказавшим, напр., трансцендентность периодов эллиптических функций (см.) при рациональных инвариантах, А. О. Гельфондом, доказав-
„V2"
1/22
а алгебраически
шим, напр., что числа а
независимы в поле рациональных чисел.
В . стороне от существующих методов остаётся, напр., вопрос об арифметич. природе числа С — Эйлера постоянной (см.); неизвестно даже, является ли оно иррациональным.
Лит.: Виноградов И. М., Основы теории чисел, 6 изд., М.—Л., 19F2; Генке Э., Лекции по теории алгебраических чисел, пер. о нем., М.—Л., 1940; Landau В., Vorlesungen liber Zahlentheorie, Bd 1—3, Lpz., 1927; В и-

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670


Большая Советская Энциклопедия Второе издание